Dla jakich liczb naturalnych..... jest liczbą pierwszą

[Arek Maciejak]

Dla jakich liczb naturalnych n liczba \(\displaystyle{ n ^{4}}\) + \(\displaystyle{ n ^{2}}\) + 1 jest liczba pierwszą? Uzasadnij swoje rozumowanie.

[meninio]

\(\displaystyle{ n^4+n^2+1=(n^2+1)^2-n^2=(n^2+1-n)(n^2+1+n)=(n^2-n+1)(n^2+n+1)}\)

Liczba jest pierwsza wtedy i tylko wtedy, gdy w jej rozkładzie na czynniki występują dwa czynniki; mniejszy z nich jest równy 1 a drugi jest dokładnie równy tej liczbie: \(\displaystyle{ p=1 p}\)

U nas mniejszym czynnikiem jest \(\displaystyle{ n^2-n+1}\), a więc:

\(\displaystyle{ \begin{cases} n^2-n+1=1 \\ n^4+n^2+1=n^2+1+n \end{cases} \begin{cases} n^2-n=0 \\ n^4-n=0 \end{cases} \begin{cases} n=0 n=1 \\ n(n^3-1)=0 \end{cases} \\ \\ \begin{cases} n=0 n=1 \\ n(n-1)(n^2+n+1)=0 \end{cases} \begin{cases} n=0 n=1 \\ n=0 n=1 \end{cases}}\)

I nasza liczba \(\displaystyle{ n^4+n^2+1}\) jest pierwsza gdy, \(\displaystyle{ n=0}\) lub \(\displaystyle{ n=1}\). I wynosi 1 lub 3.

[frej]

Z tym, że \(\displaystyle{ 1}\) jest liczbą pierwszą to bym się nie zgodził.

[meninio]

No tak racja, małe niedopatrzenie.