Rozwiąż układ równań w liczbach dodatnich:
\(\displaystyle{ x_{1} + \frac{1}{x_{2}} =4}\)
\(\displaystyle{ x_{2} + \frac{1}{x_{3}}=1}\)
\(\displaystyle{ x_{3} + \frac{1}{x_{4}} =4}\)
\(\displaystyle{ x_{4} + \frac{1}{x_{5}}=1}\)
...
\(\displaystyle{ x_{99} + \frac{1}{x_{100}} =4}\)
\(\displaystyle{ x_{100} + \frac{1}{x_{1}}=1}\)
proszę o pomoc
skomplikowany układ równań
-
chris139
- Użytkownik
- Posty: 326
- Rejestracja: 21 paź 2007, o 21:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 122 razy
skomplikowany układ równań
Wymnóżmy stronami
\(\displaystyle{ (x_1+\frac{1}{x_2})((x_2+\frac{1}{x_3})...(x_{100}+\frac{1}{x_1}=4^{50}=2^{100}}\)
Jednocześnie z nierówności Cauchy'ego między AM i GM mamy że
\(\displaystyle{ (x_1+\frac{1}{x_2})((x_2+\frac{1}{x_3})...(x_{100}+\frac{1}{x_1} \geq 2^{100}}\)
a aby zachodziła równość
\(\displaystyle{ x_1=\frac{1}{x_2}}\)
itd
więć x_1=2; x_2=1/2, x_3=2, x_4=1/2
\(\displaystyle{ (x_1+\frac{1}{x_2})((x_2+\frac{1}{x_3})...(x_{100}+\frac{1}{x_1}=4^{50}=2^{100}}\)
Jednocześnie z nierówności Cauchy'ego między AM i GM mamy że
\(\displaystyle{ (x_1+\frac{1}{x_2})((x_2+\frac{1}{x_3})...(x_{100}+\frac{1}{x_1} \geq 2^{100}}\)
a aby zachodziła równość
\(\displaystyle{ x_1=\frac{1}{x_2}}\)
itd
więć x_1=2; x_2=1/2, x_3=2, x_4=1/2