Udowodnij, że dla \(\displaystyle{ a, \ b, \ c \mathbb{R}}\) zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ \sqrt{a^{2}+(1-b)^{2}}+ \sqrt{b^{2}+(1-c)^{2}}+\sqrt{c^{2}+(1-a)^{2}}\geqslant \frac{3\sqrt{2}}{2}}\)
Z góry dzięki za pomoc.
Nierówność
-
Sylwek
- Użytkownik
- Posty: 2716
- Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 657 razy
Nierówność
Lemat: \(\displaystyle{ \sqrt{2} \sqrt{x^2+y^2} x+y}\) (wystarczy sprawdzić podnosząc do kwadratu gdy obie strony dodatnie), z lematu:
\(\displaystyle{ \sqrt{|a|^2+(|1-b|)^2} \frac{|a|+|1-b|}{\sqrt{2}}}\), powtarzając do trzy razy oraz korzystając z: \(\displaystyle{ |x| x}\) mamy:
\(\displaystyle{ L \frac{|a|+|1-b|+|b|+|1-c|+|c|+|1-c|}{\sqrt{2}} \\ \frac{a+(1-b)+b+(1-c)+c+(1-a)}{\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}=P}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{|a|^2+(|1-b|)^2} \frac{|a|+|1-b|}{\sqrt{2}}}\), powtarzając do trzy razy oraz korzystając z: \(\displaystyle{ |x| x}\) mamy:
\(\displaystyle{ L \frac{|a|+|1-b|+|b|+|1-c|+|c|+|1-c|}{\sqrt{2}} \\ \frac{a+(1-b)+b+(1-c)+c+(1-a)}{\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}=P}\)