Witam Proszę o rozwiązanie i wyjaśnienie takiego zadania.
Jaka jest najmniejsza liczba naturalna \(\displaystyle{ k}\), dla której poniższe wynikanie jest prawdziwe dla dowolnych liczb naturalnych \(\displaystyle{ m, n}\) i \(\displaystyle{ r: 4^{k}|mnr 4 ^{5}|m}\) lub \(\displaystyle{ 4 ^{3}|n}\) lub \(\displaystyle{ 4 ^{12}|r}\).
Proszę o pomoc.
Pozdrawiam.
Najmniejsza liczba naturalna
- Sylwek
- Użytkownik
- Posty: 2716
- Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 657 razy
Najmniejsza liczba naturalna
Niech \(\displaystyle{ m=2^a A, \ n=2^b B, \ r=2^c C}\), gdzie A,B,C są nieparzyste. Wówczas oczywiście liczby A,B,C nie mają wpływu na nic co się dzieje w tym zadaniu, więc dla ustalenia uwagi niech będą jedynką. Z podzielności:
\(\displaystyle{ 2^{2k}|2^{a+b+c}}\) mamy: \(\displaystyle{ a+b+c 2k}\).
Stąd jeśli nie zachodzi żadna z podzielności:
\(\displaystyle{ 2^{10}|2^a \\ 2^{6}|2^b \\ 2^{24}|2^c}\)
to musi być: \(\displaystyle{ a 9, b 5, c 23}\), czyli: \(\displaystyle{ a+b+c 9+5+23=37}\), czyli aby zachodziła choć jedna z tych podzielności dla dowolnych m,n,r musi być: \(\displaystyle{ a+b+c 38}\) (bo k jest naturalne), a skoro ma to zachodzić dla każdych a,b,c, to wybierzmy minimalne a,b,c (z pierwszej nierówności): \(\displaystyle{ a+b+c=2k}\), czyli: \(\displaystyle{ 2k 38 \iff k 19}\). Zatem k=19 jest minimalne.
Mocno sobie skróciłem opis, ale zrozumiesz mam nadzieję
\(\displaystyle{ 2^{2k}|2^{a+b+c}}\) mamy: \(\displaystyle{ a+b+c 2k}\).
Stąd jeśli nie zachodzi żadna z podzielności:
\(\displaystyle{ 2^{10}|2^a \\ 2^{6}|2^b \\ 2^{24}|2^c}\)
to musi być: \(\displaystyle{ a 9, b 5, c 23}\), czyli: \(\displaystyle{ a+b+c 9+5+23=37}\), czyli aby zachodziła choć jedna z tych podzielności dla dowolnych m,n,r musi być: \(\displaystyle{ a+b+c 38}\) (bo k jest naturalne), a skoro ma to zachodzić dla każdych a,b,c, to wybierzmy minimalne a,b,c (z pierwszej nierówności): \(\displaystyle{ a+b+c=2k}\), czyli: \(\displaystyle{ 2k 38 \iff k 19}\). Zatem k=19 jest minimalne.
Mocno sobie skróciłem opis, ale zrozumiesz mam nadzieję