Najmniejsza liczba naturalna

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Awatar użytkownika
lukki_173
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 913
Rejestracja: 24 paź 2008, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kościeliska (woj. opolskie)
Podziękował: 56 razy
Pomógł: 218 razy

Najmniejsza liczba naturalna

Post autor: lukki_173 »

Witam Proszę o rozwiązanie i wyjaśnienie takiego zadania.

Jaka jest najmniejsza liczba naturalna \(\displaystyle{ k}\), dla której poniższe wynikanie jest prawdziwe dla dowolnych liczb naturalnych \(\displaystyle{ m, n}\) i \(\displaystyle{ r: 4^{k}|mnr 4 ^{5}|m}\) lub \(\displaystyle{ 4 ^{3}|n}\) lub \(\displaystyle{ 4 ^{12}|r}\).

Proszę o pomoc.
Pozdrawiam.
Awatar użytkownika
Sylwek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2716
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 160 razy
Pomógł: 657 razy

Najmniejsza liczba naturalna

Post autor: Sylwek »

Niech \(\displaystyle{ m=2^a A, \ n=2^b B, \ r=2^c C}\), gdzie A,B,C są nieparzyste. Wówczas oczywiście liczby A,B,C nie mają wpływu na nic co się dzieje w tym zadaniu, więc dla ustalenia uwagi niech będą jedynką. Z podzielności:
\(\displaystyle{ 2^{2k}|2^{a+b+c}}\) mamy: \(\displaystyle{ a+b+c 2k}\).

Stąd jeśli nie zachodzi żadna z podzielności:
\(\displaystyle{ 2^{10}|2^a \\ 2^{6}|2^b \\ 2^{24}|2^c}\)
to musi być: \(\displaystyle{ a 9, b 5, c 23}\), czyli: \(\displaystyle{ a+b+c 9+5+23=37}\), czyli aby zachodziła choć jedna z tych podzielności dla dowolnych m,n,r musi być: \(\displaystyle{ a+b+c 38}\) (bo k jest naturalne), a skoro ma to zachodzić dla każdych a,b,c, to wybierzmy minimalne a,b,c (z pierwszej nierówności): \(\displaystyle{ a+b+c=2k}\), czyli: \(\displaystyle{ 2k 38 \iff k 19}\). Zatem k=19 jest minimalne.

Mocno sobie skróciłem opis, ale zrozumiesz mam nadzieję
Awatar użytkownika
lukki_173
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 913
Rejestracja: 24 paź 2008, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kościeliska (woj. opolskie)
Podziękował: 56 razy
Pomógł: 218 razy

Najmniejsza liczba naturalna

Post autor: lukki_173 »

Dziękuję bardzo.
ODPOWIEDZ