Witam Mam problem z takim zadankiem. Czy mógłby ktoś je zrobić i krok po kroku wyjaśnić.
Dla jakich liczb pierwszych \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) liczba \(\displaystyle{ m ^{4}-n ^{2}}\) jest także pierwsza?
Proszę o pomoc i wyjaśnienie.
Pozdrawiam
Liczby pierwsze
-
Sylwek
- Użytkownik
- Posty: 2716
- Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 657 razy
Liczby pierwsze
\(\displaystyle{ =(m^2-n)(m^2+n)}\)
Aby ta liczba była pierwsza, jeden z nawiasów musi być jedynką. Drugi nawias jest zawsze większy od 1, zatem pierwszy nawias musi być jedynką:
\(\displaystyle{ m^2-n=1 \\ m^2-1=n \\ (m-1)(m+1)=n}\)
Ponieważ n jest pierwsza, zatem jeden z tych nawiasów musi być jedynką, drugi jest zawsze większy od 1, zatem jedyna możliwość to \(\displaystyle{ m=2 n=3}\).
Wystarczy sprawdzić, czy te liczby spełniają warunek zadania:
\(\displaystyle{ 2^4-3^2=7}\) - jest OK.
Odpowiedź: m=2 i n=3.
Aby ta liczba była pierwsza, jeden z nawiasów musi być jedynką. Drugi nawias jest zawsze większy od 1, zatem pierwszy nawias musi być jedynką:
\(\displaystyle{ m^2-n=1 \\ m^2-1=n \\ (m-1)(m+1)=n}\)
Ponieważ n jest pierwsza, zatem jeden z tych nawiasów musi być jedynką, drugi jest zawsze większy od 1, zatem jedyna możliwość to \(\displaystyle{ m=2 n=3}\).
Wystarczy sprawdzić, czy te liczby spełniają warunek zadania:
\(\displaystyle{ 2^4-3^2=7}\) - jest OK.
Odpowiedź: m=2 i n=3.
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Liczby pierwsze
\(\displaystyle{ m^{4}-n^{2}=(m^{2}+n)(m^{2}-n)}\)
skoro ma to być liczba pierwsza, to \(\displaystyle{ m^{2}-n=1}\), bo inaczej oba czynniki w iloczynie byłyby większe od 1 i liczba byłaby złożona. To z kolei oznacza, że \(\displaystyle{ m^{2}-1=n}\), czyli \(\displaystyle{ (m+1)(m-1)=n}\), zatem (z tego samego powodu, co powyżej) \(\displaystyle{ m-1=1}\), m=2. Stąd n=3 i \(\displaystyle{ m^{4}-n^{2}=7}\).
skoro ma to być liczba pierwsza, to \(\displaystyle{ m^{2}-n=1}\), bo inaczej oba czynniki w iloczynie byłyby większe od 1 i liczba byłaby złożona. To z kolei oznacza, że \(\displaystyle{ m^{2}-1=n}\), czyli \(\displaystyle{ (m+1)(m-1)=n}\), zatem (z tego samego powodu, co powyżej) \(\displaystyle{ m-1=1}\), m=2. Stąd n=3 i \(\displaystyle{ m^{4}-n^{2}=7}\).