Podzielność przez 30

[szymek12]

Udowodnić, że jeżeli \(\displaystyle{ a,b}\) są liczbami całkowitymi, to liczba postaci \(\displaystyle{ N=ab(a-b ^{2})(a ^{2}+b ^{2})}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 30}\).

[blost]

podstawmy
\(\displaystyle{ a=2}\)
\(\displaystyle{ b=1}\)
\(\displaystyle{ N=2*1(2-1 ^{2})(2 ^{2}+1 ^{2})}\)
\(\displaystyle{ N=2(2-1)(4+1)}\)
\(\displaystyle{ N=2*5=10}\)
10 nie jest podzielne przez 30

[frej]

Myślę, że chodziło o \(\displaystyle{ N=ab(a^2-b^2)(a^2+b^2)}\)

[alchemik]

A jak będzie w tym przypadku?

[frej]

\(\displaystyle{ ab(a+b)(a-b)(a^2+b^2)}\)
Podzielność przez \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 3}\) jest oczywista.
Teraz trzeba pokazać podzielność przez \(\displaystyle{ 5}\).
Proponuję wszystkie przypadki i po sprawie.

[alchemik]

W KMDO to jest przy FErmacie, znacie moze jakieś fajne skorzystanie właśnie z tego twierdzenia?

[Sylwek]

Bardzo prosto :
\(\displaystyle{ a^5 \equiv a^4 \equiv a^3 \equiv a^2 \equiv a \ (mod \ 2) \\ a^5 \equiv a^3 \equiv a \ (mod \ 3) \\ a^5 \equiv a \ (mod \ 5)}\)

Zatem:
\(\displaystyle{ N = a^5b-ab^5 \equiv ab - ab = 0 \ (mod \ 2 \cdot 3 \cdot 5)}\)