Podzielność przez 240
-
szymek12
- Użytkownik
- Posty: 659
- Rejestracja: 24 kwie 2008, o 20:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Strzyżów
- Podziękował: 136 razy
- Pomógł: 54 razy
Podzielność przez 240
Dowieść, że jeżeli \(\displaystyle{ a-1}\) oraz \(\displaystyle{ a+1}\) są liczbami pierwszymi większymi od \(\displaystyle{ 10}\), to liczba \(\displaystyle{ a ^{3}-4a}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 240}\).
-
MagdaW
- Użytkownik
- Posty: 760
- Rejestracja: 18 mar 2008, o 10:23
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: z Lublina
- Podziękował: 32 razy
- Pomógł: 177 razy
Podzielność przez 240
\(\displaystyle{ 240=2 ^{4} 3 5}\)
\(\displaystyle{ a ^{2}(a-2)(a+2)}\)
Skoro liczby a-1 i a+1 są piewrsze, to a jest parzysta, zatem iloczyn jest postaci :\(\displaystyle{ 2 ^{4}k(k-1)(k+1)}\), od razu widać, że jest również podzielny przez 3 jako iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych. Z tego, że liczby a+1 i a-1 są pierwsze wynika, że a=5l+2 lub a=5l-2. Otrzymujemy więc, że \(\displaystyle{ a ^{2}(a+2)(a-2)=a ^{2}5l(5l+4) ...=a ^{2}5l(5l-4)}\)
c.n.d.
\(\displaystyle{ a ^{2}(a-2)(a+2)}\)
Skoro liczby a-1 i a+1 są piewrsze, to a jest parzysta, zatem iloczyn jest postaci :\(\displaystyle{ 2 ^{4}k(k-1)(k+1)}\), od razu widać, że jest również podzielny przez 3 jako iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych. Z tego, że liczby a+1 i a-1 są pierwsze wynika, że a=5l+2 lub a=5l-2. Otrzymujemy więc, że \(\displaystyle{ a ^{2}(a+2)(a-2)=a ^{2}5l(5l+4) ...=a ^{2}5l(5l-4)}\)
c.n.d.