Liczba pierwsza
-
- Użytkownik
- Posty: 659
- Rejestracja: 24 kwie 2008, o 20:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Strzyżów
- Podziękował: 136 razy
- Pomógł: 54 razy
Liczba pierwsza
Wykazać, że liczba \(\displaystyle{ l=6 2^{2 ^{4n} }+1}\), gdzie \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą naturalną większą od zera, nie jest liczbą pierwszą.
-
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Liczba pierwsza
Każda z liczb tej postaci dzieli się przez 11. Wykażemy, że dla dowolnego naturalnego n, liczba \(\displaystyle{ 2^{2^{4n}}}}\) daje resztę -2 z dzielenia przez 11. Dowód (indukcja):
1.) Początek indukcji: dla n=1 liczba jest równa 65536 i daje resztę -2 z dzielenia przez 11
2.) Założenie indukcyjne: \(\displaystyle{ 2^{2^{4n}} \equiv -2(mod 11)}\)
3.) Teza indukcyjna: \(\displaystyle{ 2^{2^{4(n+1)}} \equiv -2(mod 11)}\)
4.) Dowód: \(\displaystyle{ 2^{2^{4(n+1)}}=\left(2^{2^{4n}}\right)^{16} \equiv (-2)^{16}=65536 \equiv -2(mod 11)}\)
Stąd kazda z liczb tej postaci dzieli się przez 11 (i każda oczywiście jest wieksza od 11)
1.) Początek indukcji: dla n=1 liczba jest równa 65536 i daje resztę -2 z dzielenia przez 11
2.) Założenie indukcyjne: \(\displaystyle{ 2^{2^{4n}} \equiv -2(mod 11)}\)
3.) Teza indukcyjna: \(\displaystyle{ 2^{2^{4(n+1)}} \equiv -2(mod 11)}\)
4.) Dowód: \(\displaystyle{ 2^{2^{4(n+1)}}=\left(2^{2^{4n}}\right)^{16} \equiv (-2)^{16}=65536 \equiv -2(mod 11)}\)
Stąd kazda z liczb tej postaci dzieli się przez 11 (i każda oczywiście jest wieksza od 11)