Liczba pierwsza

[szymek12]

Wykazać, że liczba \(\displaystyle{ l=6 2^{2 ^{4n} }+1}\), gdzie \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą naturalną większą od zera, nie jest liczbą pierwszą.

[Crizz]

Każda z liczb tej postaci dzieli się przez 11. Wykażemy, że dla dowolnego naturalnego n, liczba \(\displaystyle{ 2^{2^{4n}}}}\) daje resztę -2 z dzielenia przez 11. Dowód (indukcja):

1.) Początek indukcji: dla n=1 liczba jest równa 65536 i daje resztę -2 z dzielenia przez 11
2.) Założenie indukcyjne: \(\displaystyle{ 2^{2^{4n}} \equiv -2(mod 11)}\)
3.) Teza indukcyjna: \(\displaystyle{ 2^{2^{4(n+1)}} \equiv -2(mod 11)}\)
4.) Dowód: \(\displaystyle{ 2^{2^{4(n+1)}}=\left(2^{2^{4n}}\right)^{16} \equiv (-2)^{16}=65536 \equiv -2(mod 11)}\)

Stąd kazda z liczb tej postaci dzieli się przez 11 (i każda oczywiście jest wieksza od 11)