Ilość trójek liczb naturalnych

[szymek12]

Ile jest trójek liczb naturalnych nie większych od \(\displaystyle{ 3n}\), których suma jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\)?

[Crizz]

Przecież liczb podzielnych przez 3 jest w zbiorze \(\displaystyle{ \{1,2,...,3n\}}\) n, liczb dających resztę 1 jest n, liczb dających resztę 2 też n. Suma trójki liczb będzie podzielna przez 3, jeśli albo wszystkie będą dawać tę samą resztę z dzielenia przez 3, albo będą dawać odpowiednio reszty 0,1 i 2. Zatem liczba wszystkich szukanych trójek wynosi \(\displaystyle{ 3 {n \choose 3} + {n \choose 1} {n \choose 1} {n \choose 1}=3 {n \choose 3} + n^{3}=\frac{n(3n^{2}-2n+2)}{2}}\)