udowodnij nierówności

anna_007 · Post autor: **anna_007** » 1 gru 2008, o 20:20

zad. 1
Dowieść, że dla nieujemnych a,b,c,d mamy nierówność:
\(\displaystyle{ \sqrt{(a+c)(b+d)} qslant \sqrt{ab} + \sqrt{cd}}\)

zad. 2
Dowieść, że dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y R}\)
\(\displaystyle{ x ^{2}+2xy+3y ^{2}+2x+6y+3 qslant 0}\)

mol_ksiazkowy · Post autor: **mol_ksiazkowy** » 1 gru 2008, o 20:36

ad 2 \(\displaystyle{ (x+y+1)^2 +2(y+1)^2}\)

Sylwek · Post autor: **Sylwek** » 1 gru 2008, o 22:03

1) Do kwadratu, wówczas mamy po otworzeniu nawiasów równoważną postać:
\(\displaystyle{ ab+ad+bc+cd ab + 2\sqrt{abcd} + cd \\ ad+bc 2 \sqrt{abcd} \\ (\sqrt{ad}-\sqrt{bc})^2 0}\)
Co jest prawdą, przekształcenia były równoważne, zatem wyjściowa nierówność też jest prawdziwa.

anna_007 · Post autor: **anna_007** » 2 gru 2008, o 19:00

dziękuję