liczby pierwsze

[szymek12]

Wyznaczyć wszystkie pary \(\displaystyle{ (p,q)}\) liczb pierwszych takich, że \(\displaystyle{ pq+1}\) i \(\displaystyle{ pq-1}\) są liczbami pierwszymi.

[Crizz]

Oczywiście albo p, albo q jest równe 2, w przeciwnym razie pierwsza z liczb byłaby parzysta i wieksza od 2. niech p=2

\(\displaystyle{ 1^{o} q \equiv 0(mod3)}\), czyli q=3
pierwsza z liczb jest równa 7, druga 5.
\(\displaystyle{ 2^{o} q \equiv 1(mod3)}\)
pierwsza z liczb jest postaci \(\displaystyle{ 6k+3,k C}\) i jest wieksza od 3, więc nie jest liczbą pierwszą.
\(\displaystyle{ 3^{o} q \equiv 2(mod3)}\)
Druga z liczb jest postaci \(\displaystyle{ 6k+3,k C}\) i jest wieksza od 3, więc nie jest liczbą pierwszą.

odp: \(\displaystyle{ \{(p,q)\}=\{(2,3),(3,2)\}}\)