Udowodnij nierówności

[szafira]

Potrzebuje pomocy przy zadaniach

1. Z: \(\displaystyle{ a\cdot b\cdot c > 0}\)
T: \(\displaystyle{ \frac{ab}{c} + \frac{bc}{a} + \frac{ac}{b} \geqslant a+b+c}\)

2. Z: \(\displaystyle{ a,b,c \in\RR}\)
T: \(\displaystyle{ (a+b) ^{2} + (b+c) ^{2} + (a+c) ^{2} \geqslant \frac{4}{3} (a+b+c) ^{2}}\)

3. Z: \(\displaystyle{ a \ne 0, b \ne 0}\)
T: \(\displaystyle{ \frac{a ^{2}-ab+b ^{2} }{a ^{2} + ab +b ^{2} } \geqslant \frac{1}{3}}\)

4: Z: \(\displaystyle{ x,y\in }\)
T: \(\displaystyle{ \frac{x}{1+y} + \frac{y}{1+x} \leqslant 1}\)

Z góry dziękuję za pomoc w którymkolwiek. (:
pozdrawiam, Szafira

[patry93]

Ad 4
Bez straty ogólności \(\displaystyle{ x \leqslant y .}\)

\(\displaystyle{ \frac{x}{1+y}+ \frac{y}{1+x} \leqslant \frac{x}{1+x} + \frac{y}{1+x} \leqslant \frac{x}{1+x} + \frac{1}{1+x} = \frac{1+x}{1+x} = 1 \leqslant 1}\)

[LichuKlichu]

Zad. 2

\(\displaystyle{ a^{2}+2ab+b^{2}+b^{2}+2bc+c^{2}+c^{2}+2ca+a^{2} \geqslant \frac{4}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca) // \cdot 3}\)
\(\displaystyle{ 6a^{2}+6b^{2}+6c^{2}+6ab+6bc+6ca \geqslant 4a^{2}+4b^{2}+4c^{2}+8ab+8bc+8ca}\)
\(\displaystyle{ 2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}-2ab-2bc-2ca \geqslant 0}\)
\(\displaystyle{ a^{2}-2ab+b^{2}+b^{2}-2bc+c^{2}+c^{2}-2ca+a^{2} \geqslant 0}\)
\(\displaystyle{ (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(a-c)^{2} \geqslant 0}\)

Przekształcenia są równoważne, więc ostatnia nierówność jest równoważna nierówności wyjściowej. Ostatnia nierówność jest oczywiście prawdziwa więc nierówność wyjściowa jest również prawdziwa.


Zad. 3

Zauważmy, że: \(\displaystyle{ a^{2}+ab+b^{2}=(a+\frac{b}{2})^{2}+\frac{3}{4}b^{2} > 0}\)

\(\displaystyle{ \frac{a^{2}-ab+b^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}}-\frac{1}{3}=\frac{3a^{2}-3ab+3b^{2}-a^{2}-ab-b^{2}}{3(a^{2}+ab+b^{2})}=\frac{2a^{2}-4ab+2b^{2}}{3(a^{2}+ab+b^{2})}=\frac{2(a-b)^{2}}{3(a^{2}+ab+b^{2})} \geqslant 0}\)

Licznik jest dodatni, mianownik też więc ułamek jest większy lub równy zero. Przekształcenia są równoważne, więc ostatnia nierówność jest równoważna nierówności wyjściowej. Ostatnia nierówność jest prawdziwa więc nierówność wyjściowa jest również prawdziwa.
Pozdrawiam

[marcinn12]

LichuKlichu a tam w tym 2 nie powinno być zamiast c^2, a^2?
Reszte napisałeś dobrze mimo tej pomyłki Chyba z pośpiechu.

Dzięki za rozwiązania! Spisze sobie je do zeszytu

[LichuKlichu]

Tak powinno, masz rację Błąd z pośpiechu

[szafira]

bardzo dziękuję

[ Dodano: 30 Listopada 2008, 19:26 ]
a wie ktoś może jak zadanie 1 zrobić?
i bardziej przejżyśćie zadanie 4?

z góry dziękuję

[Piotr Rutkowski]

1)
Jest równoważne \(\displaystyle{ \sum_{cyc}(ab)^{2}\geq abc(a+b+c)}\)
Podstawiajć \(\displaystyle{ x=ab \ y=bc \ z=ca}\) otrzymujemy nierówność równoważną:
\(\displaystyle{ (x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx\geq 0)\iff (\frac{\sum_{cyc}(x-y)^{2}}{2})}\) co jest oczywiste

A co konkretnie jest niejasnego w rozwiązaniu zadania 4? Pierwsze przejście wynika z założenia \(\displaystyle{ x\leq y}\) natomiast drugie z \(\displaystyle{ y\leq 1}\)

[szafira]

dziękuje, temat można zamknąć.