2 zadania z teorii liczb

[kluczyk]

1.Wykaż, że jeśli p jest liczbą pierwszą, to \(\displaystyle{ p|a^{p}-b^{p} p^{2}|a^{p}-b^{p}}\).
2. Liczby całkowite x,y,z spełniają warunek: \(\displaystyle{ 7|x^{3}+y^{3}+z^{3}}\). Udowodnij, że \(\displaystyle{ 7|xyz}\)

[mol_ksiazkowy]

Szescian liczby naturalnej niepodzielnej przez 7 daje przy dzieleniu przez 7 reszte 1 lub 6.
ze zbioru \(\displaystyle{ \{ 1, 6 \}}\) nie da sie wyjac trzech liczb \(\displaystyle{ r_1, r_2,r_3}\)takich zeby
\(\displaystyle{ r_1+r_2+ r_3}\) dzielilo sie przez 7

[Sylwek]

1) Z MTF: \(\displaystyle{ a^p \equiv a \ (mod \ p)}\), \(\displaystyle{ b^p \equiv b \ (mod \ p)}\), zatem: \(\displaystyle{ 0 \equiv a^p-b^p \equiv a-b \ (mod \ p)}\), czyli: \(\displaystyle{ a \equiv b \ (mod \ p)}\), dalej
\(\displaystyle{ (a^p-b^p)=(a-b)(a^{p-1}+a^{p-2}b + \ldots + ab^{p-2} + b^{p-1})}\)
pierwszy nawias jest podzielny przez p, wystarczy pokazać, że drugi nawias też, bo:
\(\displaystyle{ a^{p-1}+a^{p-2}b + \ldots + ab^{p-2} + b^{p-1} \equiv a^{p-1} + a^{p-2}a + \ldots + a a^{p-2} + a^{p-1} = \\ = p a^{p-1} \equiv 0 \ (mod \ p)}\)
co należało dowieść