różnica kwadratów
różnica kwadratów
Jak sprawdzić czy dowolna liczba całkowita dodatnia jest różnicą kwadratów dwóch liczb całkowitych?
-
kej.ef
- Użytkownik
- Posty: 162
- Rejestracja: 14 sie 2004, o 19:11
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Mathland
- Podziękował: 2 razy
różnica kwadratów
Ha tez sie kiedys z tym meczylem ale w koncu doszedlem
Pokarze Ci to na przykladzie. Np. sprawdzmy czy liczba 1000 jest roznica kwadratow dwoch liczb calkowitych (przez x i y oznaczmy sobie te liczby)
Mamy wiec:
x^2-y^2=1000
(x-y)(x+y)=1000
teraz mozesz sobie np. rozlozyc 1000 na czynniki pierwsze (w rozkladzie umiesc tez 1 bo mimo iz nie jest liczba pierwsza to tez trzeba bedzie ja sprawdzic)
Teraz mamy jakby iloczyn dwoch liczb, mianowicie: x-y i x+y.
I np. 1000=1*1000, wiec mamy uklad rownan
x-y=1 i x+y=1000. I teraz sprawdzasz czy ten uklad rownan ma rozwiazania calkowite. Jesli nie to szukasz kolejnych iloczynow (np.
1000=2*500 i tez robisz uklad rownan) i tak az do wyczerpania wszystkich przypadkow. Jesli znajdziesz taki uklad rownan, ktory ma rozwiazania calkowite, to masz rozwiazanie. Po kilku przykladach zauwazysz pewna zaleznosc i ona pozwoli Ci szybciej rozstrzygac takie zadanie. Albo Ci od razu powiem, jesli znajdziesz taki iloczyn, ze oba jego skladniki sa parzyste (np. tutaj 1000=2*500), to odpowiedz jest TAK. Ale zeby sie do tego przekonaca to musisz sam zrobic kilka przykladow.
Powodzenia
Pokarze Ci to na przykladzie. Np. sprawdzmy czy liczba 1000 jest roznica kwadratow dwoch liczb calkowitych (przez x i y oznaczmy sobie te liczby)
Mamy wiec:
x^2-y^2=1000
(x-y)(x+y)=1000
teraz mozesz sobie np. rozlozyc 1000 na czynniki pierwsze (w rozkladzie umiesc tez 1 bo mimo iz nie jest liczba pierwsza to tez trzeba bedzie ja sprawdzic)
Teraz mamy jakby iloczyn dwoch liczb, mianowicie: x-y i x+y.
I np. 1000=1*1000, wiec mamy uklad rownan
x-y=1 i x+y=1000. I teraz sprawdzasz czy ten uklad rownan ma rozwiazania calkowite. Jesli nie to szukasz kolejnych iloczynow (np.
1000=2*500 i tez robisz uklad rownan) i tak az do wyczerpania wszystkich przypadkow. Jesli znajdziesz taki uklad rownan, ktory ma rozwiazania calkowite, to masz rozwiazanie. Po kilku przykladach zauwazysz pewna zaleznosc i ona pozwoli Ci szybciej rozstrzygac takie zadanie. Albo Ci od razu powiem, jesli znajdziesz taki iloczyn, ze oba jego skladniki sa parzyste (np. tutaj 1000=2*500), to odpowiedz jest TAK. Ale zeby sie do tego przekonaca to musisz sam zrobic kilka przykladow.
Powodzenia
różnica kwadratów
wiesz też doszedłem do tego, nawet mam dowód że dla wszystkich liczb nieparzystych poza 1 i chyba 3 to zachodzi, ale jak sprawdzić liczbę wyrażaną w milionach
-
Maciej87
- Użytkownik
- Posty: 377
- Rejestracja: 26 sty 2009, o 09:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 46 razy
różnica kwadratów
Dopiszę się pod tym starym wątkiem, bo szkoda żeby problem nie doczekał się prostej odpowiedzi.
Zauważmy że \(\displaystyle{ (x+1)^2-x^2=2x+1}\) więc liczby nieparzyste są przedstawialne.
Zauważmy że \(\displaystyle{ (x+1)^2-(x-1)^2=4x}\) więc liczby podzielne przez \(\displaystyle{ 4}\) są przedstawialne.
Zauważmy że liczby podzielne tylko przez \(\displaystyle{ 2}\) a nie \(\displaystyle{ 4}\) nie są różnicą kwadratów-
jeśli \(\displaystyle{ x^2-y^2}\) parzysta to \(\displaystyle{ x,y}\) jednakowej parzystości i \(\displaystyle{ (x-y)(x+y)}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 2\cdot 2}\).
Zauważmy że \(\displaystyle{ (x+1)^2-x^2=2x+1}\) więc liczby nieparzyste są przedstawialne.
Zauważmy że \(\displaystyle{ (x+1)^2-(x-1)^2=4x}\) więc liczby podzielne przez \(\displaystyle{ 4}\) są przedstawialne.
Zauważmy że liczby podzielne tylko przez \(\displaystyle{ 2}\) a nie \(\displaystyle{ 4}\) nie są różnicą kwadratów-
jeśli \(\displaystyle{ x^2-y^2}\) parzysta to \(\displaystyle{ x,y}\) jednakowej parzystości i \(\displaystyle{ (x-y)(x+y)}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 2\cdot 2}\).