Nie wiem czy to dobry dział, jeśli nie to przepraszam za kłopot i proszę o przeniesienie do odpowiedniego.
wykaż, że:
\(\displaystyle{ {n\choose 1} - 2 {n\choose 2} + 3 {n\choose 3}- 4 {n\choose 4} s + n {n\choose n} = 0}\)
\(\displaystyle{ {n\choose 1} + 2{n\choose 2} + 3{n\choose 3} + s + n {n\choose n} = n 2 ^{n-1}}\)
Z góry dzięki!!
Dwa dowody z dwumianu Newtona.
-
- Użytkownik
- Posty: 170
- Rejestracja: 14 paź 2008, o 09:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 78 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lost Hope
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 502 razy
Dwa dowody z dwumianu Newtona.
\(\displaystyle{ (1+x)^n=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}x^i}\)
Stad:
\(\displaystyle{ ((1+x)^n)'=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}ix^{i-1}}\),
Oznaczmy:
\(\displaystyle{ f(x)=x((1+x)^n)'=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}ix^i}\).
Zauwazmy, ze szukana suma to \(\displaystyle{ f(1)}\).
Z drugiej strony:
\(\displaystyle{ f(x)=x((1+x)^n)'=xn(1+x)^{n-1}}\)
skad szukana suma wynosi:
\(\displaystyle{ f(1)=1\cdot n(1+1)^{n-1}=n2^{n-1}}\).
Niemal identycznie pierwsza suma:
\(\displaystyle{ (1-x)^n=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}(-x)^i=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}(-1)^ix^i}\)
Stad:
\(\displaystyle{ ((1-x)^n)'=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}i(-1)^ix^{i-1}}\),
Oznaczmy:
\(\displaystyle{ f(x)=x((1-x)^n)'=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}i(-1)^ix^i}\).
Zauwazmy, ze szukana suma to \(\displaystyle{ f(1)}\).
Z drugiej strony:
\(\displaystyle{ f(x)=x((1-x)^n)'=-xn(1-x)^{n-1}}\)
skad szukana suma wynosi:
\(\displaystyle{ f(1)=-1\cdot n(1-1)^{n-1}=0}\).
Stad:
\(\displaystyle{ ((1+x)^n)'=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}ix^{i-1}}\),
Oznaczmy:
\(\displaystyle{ f(x)=x((1+x)^n)'=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}ix^i}\).
Zauwazmy, ze szukana suma to \(\displaystyle{ f(1)}\).
Z drugiej strony:
\(\displaystyle{ f(x)=x((1+x)^n)'=xn(1+x)^{n-1}}\)
skad szukana suma wynosi:
\(\displaystyle{ f(1)=1\cdot n(1+1)^{n-1}=n2^{n-1}}\).
Niemal identycznie pierwsza suma:
\(\displaystyle{ (1-x)^n=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}(-x)^i=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}(-1)^ix^i}\)
Stad:
\(\displaystyle{ ((1-x)^n)'=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}i(-1)^ix^{i-1}}\),
Oznaczmy:
\(\displaystyle{ f(x)=x((1-x)^n)'=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}i(-1)^ix^i}\).
Zauwazmy, ze szukana suma to \(\displaystyle{ f(1)}\).
Z drugiej strony:
\(\displaystyle{ f(x)=x((1-x)^n)'=-xn(1-x)^{n-1}}\)
skad szukana suma wynosi:
\(\displaystyle{ f(1)=-1\cdot n(1-1)^{n-1}=0}\).
- Sylwek
- Użytkownik
- Posty: 2716
- Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 657 razy
Dwa dowody z dwumianu Newtona.
Inne rozwiązanie, zacznę od b), a korzystam tylko z tego, że \(\displaystyle{ \binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}}\):
\(\displaystyle{ S= 0 \binom{n}{0} + {n\choose 1} + 2{n\choose 2} + 3{n\choose 3} + \ldots + n {n\choose n} \\ S= 0 \binom{n}{n} + \binom{n}{n-1} + 2 \binom{n}{n-2} + \ldots + 0 \binom{n}{n}}\)
Sumujemy stronami:
\(\displaystyle{ 2S=n \binom{n}{0}+ n \binom{n}{1} + \ldots + n \binom{n}{n}=n(\sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i})=n 2^n}\)
Dzielimy przez dwa:
\(\displaystyle{ S=n 2^{n-1}}\)
przykład a) zupełnie analogicznie, tylko w pewnych miejscach zamieniamy plus na minus i wychodzi \(\displaystyle{ 2S=0}\)
\(\displaystyle{ S= 0 \binom{n}{0} + {n\choose 1} + 2{n\choose 2} + 3{n\choose 3} + \ldots + n {n\choose n} \\ S= 0 \binom{n}{n} + \binom{n}{n-1} + 2 \binom{n}{n-2} + \ldots + 0 \binom{n}{n}}\)
Sumujemy stronami:
\(\displaystyle{ 2S=n \binom{n}{0}+ n \binom{n}{1} + \ldots + n \binom{n}{n}=n(\sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i})=n 2^n}\)
Dzielimy przez dwa:
\(\displaystyle{ S=n 2^{n-1}}\)
przykład a) zupełnie analogicznie, tylko w pewnych miejscach zamieniamy plus na minus i wychodzi \(\displaystyle{ 2S=0}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 170
- Rejestracja: 14 paź 2008, o 09:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 78 razy
Dwa dowody z dwumianu Newtona.
Dzięki już sobie poradziłem z nimi wczoraj, tylko zapomniałem napisać w tym temacie, tak czy owak, dzięki za poświęcony czas
Plusy dla Was
Plusy dla Was