Dwa dowody z dwumianu Newtona.

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
piotrek9299
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 170
Rejestracja: 14 paź 2008, o 09:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 78 razy

Dwa dowody z dwumianu Newtona.

Post autor: piotrek9299 »

Nie wiem czy to dobry dział, jeśli nie to przepraszam za kłopot i proszę o przeniesienie do odpowiedniego.
wykaż, że:
\(\displaystyle{ {n\choose 1} - 2 {n\choose 2} + 3 {n\choose 3}- 4 {n\choose 4} s + n {n\choose n} = 0}\)

\(\displaystyle{ {n\choose 1} + 2{n\choose 2} + 3{n\choose 3} + s + n {n\choose n} = n 2 ^{n-1}}\)
Z góry dzięki!!
xiikzodz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lost Hope
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 502 razy

Dwa dowody z dwumianu Newtona.

Post autor: xiikzodz »

\(\displaystyle{ (1+x)^n=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}x^i}\)

Stad:

\(\displaystyle{ ((1+x)^n)'=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}ix^{i-1}}\),

Oznaczmy:

\(\displaystyle{ f(x)=x((1+x)^n)'=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}ix^i}\).

Zauwazmy, ze szukana suma to \(\displaystyle{ f(1)}\).

Z drugiej strony:

\(\displaystyle{ f(x)=x((1+x)^n)'=xn(1+x)^{n-1}}\)

skad szukana suma wynosi:

\(\displaystyle{ f(1)=1\cdot n(1+1)^{n-1}=n2^{n-1}}\).

Niemal identycznie pierwsza suma:

\(\displaystyle{ (1-x)^n=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}(-x)^i=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}(-1)^ix^i}\)

Stad:

\(\displaystyle{ ((1-x)^n)'=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}i(-1)^ix^{i-1}}\),

Oznaczmy:

\(\displaystyle{ f(x)=x((1-x)^n)'=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}i(-1)^ix^i}\).

Zauwazmy, ze szukana suma to \(\displaystyle{ f(1)}\).

Z drugiej strony:

\(\displaystyle{ f(x)=x((1-x)^n)'=-xn(1-x)^{n-1}}\)

skad szukana suma wynosi:

\(\displaystyle{ f(1)=-1\cdot n(1-1)^{n-1}=0}\).
Awatar użytkownika
Sylwek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2716
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 160 razy
Pomógł: 657 razy

Dwa dowody z dwumianu Newtona.

Post autor: Sylwek »

Inne rozwiązanie, zacznę od b), a korzystam tylko z tego, że \(\displaystyle{ \binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}}\):
\(\displaystyle{ S= 0 \binom{n}{0} + {n\choose 1} + 2{n\choose 2} + 3{n\choose 3} + \ldots + n {n\choose n} \\ S= 0 \binom{n}{n} + \binom{n}{n-1} + 2 \binom{n}{n-2} + \ldots + 0 \binom{n}{n}}\)

Sumujemy stronami:
\(\displaystyle{ 2S=n \binom{n}{0}+ n \binom{n}{1} + \ldots + n \binom{n}{n}=n(\sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i})=n 2^n}\)

Dzielimy przez dwa:
\(\displaystyle{ S=n 2^{n-1}}\)


przykład a) zupełnie analogicznie, tylko w pewnych miejscach zamieniamy plus na minus i wychodzi \(\displaystyle{ 2S=0}\)
piotrek9299
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 170
Rejestracja: 14 paź 2008, o 09:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 78 razy

Dwa dowody z dwumianu Newtona.

Post autor: piotrek9299 »

Dzięki już sobie poradziłem z nimi wczoraj, tylko zapomniałem napisać w tym temacie, tak czy owak, dzięki za poświęcony czas
Plusy dla Was
ODPOWIEDZ