Kilka zadań z teorii liczb

[Goter]

1. Pokazać, że jeśli każda z liczb a,b,c,d ∈ N dzieli się przez ab-cd, to |ab-cd| = 1

2. Obliczyć NWD(\(\displaystyle{ 2^{63}-1, 2^{91}-1}\))

3. Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej n ułamek \(\displaystyle{ \frac{2n+1}{9n+4}}\) jest nieskracalny. Zbadać skracalność ułamków: \(\displaystyle{ \frac{2n-1}{9n+4}}\), \(\displaystyle{ \frac{11n+2}{18n+5}}\), \(\displaystyle{ \frac{14n+3}{21n+4}}\).

4. Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne n, dla których liczba \(\displaystyle{ \frac{19n+7}{7n+11}}\) jest całkowita.

5. Wykazać, że dla żadnej liczby całkowitej n liczba \(\displaystyle{ n^{2}+5n+1}\) nie jest podzielna przez 49.

6. Wyznaczyć wszystkie trójki liczb pierwszych, których iloczyn jest pięciokrotnie większy od ich sumy.

7. Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ p^{2}-2q^{2}=1}\), jeśli wiadomo, że p i q są liczba pierwszymi.


Bardzo proszę o pomoc. Z góry dziękuję.

[patry93]

1. https://matematyka.pl/88761.htm

[Goter]

Dzięki, żebym wiedział, że to już było, to bym nie wrzucał tego zadania. Strasznie ciężko się szuka przez tę wyszukiwarkę, a tych tematów jest tak dużo, że nie sposób wszystkich przejrzeć. W każdym bądź razie, jak ktoś umie zrobić pozostałe zadania, to bardzo proszę o pomoc.

[mol_ksiazkowy]

\(\displaystyle{ (p-1)(p+1)=2q^2}\) Jesli q=2, to p=3. a Jesli q>2 to sprzecznosc bo p jest nieparzysta wiec \(\displaystyle{ (p-1)(p+1)}\) dzieli sie przez 4

[ Dodano: 23 Listopada 2008, 16:23 ]
ad 4 \(\displaystyle{ \frac{19n+7}{7n+11} 0 a zatem zostaje zbadac kiedy
\(\displaystyle{ \frac{19n+7}{7n+11}=1}\) lub
\(\displaystyle{ \frac{19n+7}{7n+11}=2}\) co jest banalne}\)

[Goter]

OK, 1,4,6 i 7 już mam


pozostaje 2,3 i 5

[mol_ksiazkowy]

ad 3 Gdyby liczby 2n+1 i 9n+4 mialy wspolny dzielnik m>1 to , m byłoby dzielnikiem
8n+4, a to znaczy ze m byłoby dzielnikiem (9n+4)- (8n+4)= n . Jednak liczby n i 2n+1 nie maja wspolnego dzielnika >1 sprzecznosc

[ Dodano: 23 Listopada 2008, 16:58 ]
nie trzzeba tego badac

ad5 wydaje mi sie ze aby \(\displaystyle{ n^5+5n+1}\) dzielilo sie przez 7 to , n=7k+1 lub n=7k-1
Zobaczmy np n=7k+1
wtedy \(\displaystyle{ n^5+5n+1 =(7k+1)^2+5(7k+1)+1 = 49 k^2+49k +7}\) i juz widac ze nie dzieli sie przez 49 ,
Przypadek drugi podobnie
Szczogoly prosze doptracowac

[ Dodano: 23 Listopada 2008, 17:00 ]
ad2 To zdaje sie ze NWD liczb potaci \(\displaystyle{ 2^n -1}\)jest tez tej postaci, tj tutaj NWD= \(\displaystyle{ 2^7 -1}\)