Suma cyfr, a potega 11

olwe · Post autor: **olwe** » 29 lis 2005, o 19:27

Oto zadanie:
Uzasadnij ze wsrod liczb \(\displaystyle{ 11 , 11^{2} , ...}\) są takie dwie, które mają jednakowe końcówki pięciocyfrowe.

Oto co narazie ustaliłem.
\(\displaystyle{ 11^{n} = ABCD1}\)

tabelka ostatnich pieciu cyfr poteg 11:
A B C D 1
0 0 0 1 1
0 0 1 2 1
0 1 3 3 1
1 4 6 4 1
5 1 0 5 1
6 1 5 6 1
8 7 1 7 1
itd.

Widac wyraznie ze: A z \(\displaystyle{ 11^{n} =}\) A + B z \(\displaystyle{ 11^{n-1}}\)
tak samo jest z B C i D, dziala to mniej wiecej tak jak z dodawaniem pisemnym.
Nie wiem czy takich mozliwosci nie jest nieskonczonosc
I w tym miejscu utknalem, nie wiem co dalej nalezy zrobic.

Tomasz Rużycki · Post autor: **Tomasz Rużycki** » 29 lis 2005, o 20:05

Jakieś założenia odnośnie \(\displaystyle{ n}\)?

Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki

olwe · Post autor: **olwe** » 29 lis 2005, o 20:16

- tu masz to zadanie w pdf przepisalem wlasciwie identycznie jak jest napisane. Acha do zadania byla dolaczona wskazowka ( jakby ktos sobie nie radzil z tym zadaniem ) Pisze, ze nalezy zwrocic uwage na to ile jest takich koncowek.

Tomasz Rużycki · Post autor: **Tomasz Rużycki** » 29 lis 2005, o 20:22

Niepotrzebnie to \(\displaystyle{ n}\) dopisałeś. Dezorientuje

Zauważ, że 1 jest zawsze końcówką, więc możliwych pięciocyfrowych końcówek jest \(\displaystyle{ 10^4}\), czyli jest ich skończenie wiele.

Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki

olwe · Post autor: **olwe** » 29 lis 2005, o 20:30

no to tez wiem tylko jak ladnie udowodnic, ze dwie rozne potegi 11 (dokladnie dwie ?) maja taka sama koncowke. hipotetycznie moze byc przeciez liczba XX00001 i XXX00001 jak i XXXXXXX00001

Tomasz Rużycki · Post autor: **Tomasz Rużycki** » 29 lis 2005, o 20:33

Weź sobie \(\displaystyle{ 10^4+1}\) różnych potęg \(\displaystyle{ 11}\). Wtedy co najmniej dwie będą miały jednakowe pięciocyfrowe końcówki.

Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki

olwe · Post autor: **olwe** » 29 lis 2005, o 20:35

faktycznie, wielkie dzieki!