Witam.
Udowodnić, że
\(\displaystyle{ 1 100 + 3 99 + 5 98 + \ldots + 199 1 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + 100^2}\)
Jakaś podpowiedź by się przydała Próbowałem oznaczyć \(\displaystyle{ a=100}\) i wtedy lewa strona wyglądałaby następująco:
\(\displaystyle{ (a-99)a + (a-97)(a-1) + (a-95)(a-2) + \ldots + (a-(-99))(a-99)}\).
Nie wiem czy to coś daje...
Prawą stronę nijak nie udaje mi się sensownie zapisać... :/
Z góry dziękuję za pomoc.
Suma iloczynów, kwadraty [dowieść]
-
Wasilewski
- Użytkownik
- Posty: 3921
- Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1194 razy
Suma iloczynów, kwadraty [dowieść]
Lewa strona to:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} (2k-1)(n+1 - k) = \sum_{k=1}^{n} ft((2n+3)k - 2k^2 - (n+1)\right)}\)
Ma się to równać:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k^2}\)
Czyli powinniśmy mieć:
\(\displaystyle{ 3 \sum_{k=1}^{n} k^2 = \sum_{k=1}^{n} ft((2n+3)k - (n+1)\right)}\)
Policz sumę po prawej stronie, a potem dowiedź, że suma po lewej jest tyle równa (na przykład indukcją).
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} (2k-1)(n+1 - k) = \sum_{k=1}^{n} ft((2n+3)k - 2k^2 - (n+1)\right)}\)
Ma się to równać:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k^2}\)
Czyli powinniśmy mieć:
\(\displaystyle{ 3 \sum_{k=1}^{n} k^2 = \sum_{k=1}^{n} ft((2n+3)k - (n+1)\right)}\)
Policz sumę po prawej stronie, a potem dowiedź, że suma po lewej jest tyle równa (na przykład indukcją).
-
patry93
- Użytkownik
- Posty: 1251
- Rejestracja: 30 sty 2007, o 20:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Koziegłówki/Wrocław
- Podziękował: 352 razy
- Pomógł: 33 razy
Suma iloczynów, kwadraty [dowieść]
Ojej, myślałem, że to może być takie wmiarę zadanko na II et. OMG, a tutaj pojawia się zapis o którym prawie nic nie wiem
Raczej chyba za trudne jest takie coś jak na gim. ?
Raczej chyba za trudne jest takie coś jak na gim. ?
-
Wasilewski
- Użytkownik
- Posty: 3921
- Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1194 razy
Suma iloczynów, kwadraty [dowieść]
Można trochę prościej, ale za to mniej formalnie. Dodajemy do obu stron sumę:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} (n+1-k) = \sum_{k=1}^{n} k}\)
Lewy zapis przyda nam się po lewej stronie równości, a prawy po prawej. Rozpiszmy lewą stronę:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} (2k-1)(n+1-k) + \sum_{k=1}^{n} (n+1-k) = \sum_{k=1}^{n} 2k (n+1-k) = 2 \sum_{k=1}^{n} k(n+1 -k)}\)
Prawa strona:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k = \sum_{k=1}^{n} k(k+1)}\)
Obie strony dzielimy przez dwa, z prawej mamy:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \frac{k(k+1)}{2}}\)
A chyba wiemy, że:
\(\displaystyle{ \frac{k(k+1)}{2} = 1 + 2 + \ldots + k}\)
Co za tym idzie prawa strona to:
\(\displaystyle{ 1 + (1+2) + (1+2+3) + \ldots + (1+2+ 3+ \ldots + n)}\)
Liczba k występuje w nawiasach od k-tego do n-tego; jest (n+1-k). Czyli tyle razy właśnie liczba k występuje w tej sumie, możemy zatem zapisać, że:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \frac{k(k+1)}{2} = \sum_{k=1}^{n} k(n+1-k)}\)
A to jest to samo, co po lewej.
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} (n+1-k) = \sum_{k=1}^{n} k}\)
Lewy zapis przyda nam się po lewej stronie równości, a prawy po prawej. Rozpiszmy lewą stronę:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} (2k-1)(n+1-k) + \sum_{k=1}^{n} (n+1-k) = \sum_{k=1}^{n} 2k (n+1-k) = 2 \sum_{k=1}^{n} k(n+1 -k)}\)
Prawa strona:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k = \sum_{k=1}^{n} k(k+1)}\)
Obie strony dzielimy przez dwa, z prawej mamy:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \frac{k(k+1)}{2}}\)
A chyba wiemy, że:
\(\displaystyle{ \frac{k(k+1)}{2} = 1 + 2 + \ldots + k}\)
Co za tym idzie prawa strona to:
\(\displaystyle{ 1 + (1+2) + (1+2+3) + \ldots + (1+2+ 3+ \ldots + n)}\)
Liczba k występuje w nawiasach od k-tego do n-tego; jest (n+1-k). Czyli tyle razy właśnie liczba k występuje w tej sumie, możemy zatem zapisać, że:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \frac{k(k+1)}{2} = \sum_{k=1}^{n} k(n+1-k)}\)
A to jest to samo, co po lewej.
-
limes123
- Użytkownik
- Posty: 666
- Rejestracja: 21 sty 2008, o 22:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ustroń
- Podziękował: 26 razy
- Pomógł: 93 razy
Suma iloczynów, kwadraty [dowieść]
Będziesz teraz wrzucał kazde zadanie z tego zestawu...? Na innym forum dostales juz rozwiazanie (zdecydowanie na poziomie gim).