Nierówność podwójna

[szymek12]

Wykazać, że dla każdej dodatniej liczby \(\displaystyle{ w ^{2}>3}\) można dobrać liczbę \(\displaystyle{ n \mathbb{N _{+} }}\) tak, aby była spełniona nierówność:
\(\displaystyle{ 3}\)

[Sylwek]

Równość: \(\displaystyle{ (w-\frac{1}{n})^2 < w^2}\) jest spełniona dla każdej liczby naturalnej n (przy założeniach zadania), toteż wystarczy pokazać, że istnieje takie n, że: \(\displaystyle{ 3< (w-\frac{1}{n})}\), przypuśćmy nie wprost, że zawsze: \(\displaystyle{ 3 \ge (w-\frac{1}{n})^2}\), w szczególności: \(\displaystyle{ lim_{n \to +\infty} (w-\frac{1}{n}) \le 3}\), ale z drugiej strony: \(\displaystyle{ lim_{n \to +\infty} = w^2>3}\) - sprzeczność z przypuszczeniem, co należało dowieść.