Wielokrotność liczby 100

[szymek12]

Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ a \mathbb{N _{+} }}\) i reszta z dzielenia \(\displaystyle{ a}\) przez \(\displaystyle{ 5}\) jest różna od \(\displaystyle{ 0}\), to liczba \(\displaystyle{ b=a ^{8}+3a ^{4}-4}\) jest wielokrotnością \(\displaystyle{ 100}\).
Czy jedyną możliwością jest rozpatrzenie przypadków, gdy:
\(\displaystyle{ a=5k+1}\)
\(\displaystyle{ a=5k+2}\)
\(\displaystyle{ a=5k+3}\)
\(\displaystyle{ a=5k+4}\), gdzie \(\displaystyle{ k \mathbb{N}}\)?

[Sylwek]

Wystarczy pokazać podzielność przez 4 i podzielność przez 25, przez 4 idzie prosto, a przez 25: \(\displaystyle{ b=a^8+3a^4-4=(a^4-1)(a^4+4)}\), ale z Małego Twierdzenia Fermata mamy: \(\displaystyle{ (a,5)=1 a^4 \equiv 1 \ (mod \ 5)}\), stąd oba nawiasy są podzielne przez 5, co należało dowieść.