Czy jest liczbą pierwszą.
-
- Użytkownik
- Posty: 19
- Rejestracja: 17 lis 2005, o 23:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: augustow
- Podziękował: 6 razy
Czy jest liczbą pierwszą.
Trzba zbadać, czy różnica piątych potęg dwóch liczb pierwszych jest także liczbą pierwszą.
\(\displaystyle{ ( a^{5} - b^{5} ) P}\)
rozumiem, że trzeba rozdzielić to na iloczyn dwóch nawiasów, i powinno wyjść, że jeden jest zawsze równy 1, znajoma podrzuciła mi taki wzorek, niby się zgadza, ale jak to dalej pociągnąć niestety nie mam pojęcia:
\(\displaystyle{ a^{5} - b^{5} = (a-b)*(a^{4} + a^{3} b + a^{2} b^{2} + a b^{3} +b^{4})=...}\)
pls hlp.
\(\displaystyle{ ( a^{5} - b^{5} ) P}\)
rozumiem, że trzeba rozdzielić to na iloczyn dwóch nawiasów, i powinno wyjść, że jeden jest zawsze równy 1, znajoma podrzuciła mi taki wzorek, niby się zgadza, ale jak to dalej pociągnąć niestety nie mam pojęcia:
\(\displaystyle{ a^{5} - b^{5} = (a-b)*(a^{4} + a^{3} b + a^{2} b^{2} + a b^{3} +b^{4})=...}\)
pls hlp.
-
- Użytkownik
- Posty: 195
- Rejestracja: 13 paź 2005, o 17:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jelenia Góra
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 28 razy
Czy jest liczbą pierwszą.
Dalej już łatwo, jeśli \(\displaystyle{ a-b\not = 1}\) to oba czynniki są większe od 1 i dlatego liczba ta nie jest liczbą pierwszą. Jeśli zaś \(\displaystyle{ a-b=1}\) to trzeba zbadać, co wyjdzie w tym drugim nawiasie. Dla 3=a i 2=b 3^5-2^5=243-32=211 i jest to liczba pierwsza.
-
- Użytkownik
- Posty: 19
- Rejestracja: 17 lis 2005, o 23:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: augustow
- Podziękował: 6 razy
Czy jest liczbą pierwszą.
hmm, dobra, nagłe olśnienie
Wystarczy wziąć a i b takie, że a-b=/=1, stąd pierwszy nawias będzie dzielił liczbę. Drugi nawias nigdy nie przyjmuje wartości 1 => czyli ta liczba nie jest liczbą pierwszą
można temat zamknąć/wyrzucić, ew. pozostawić dla innych.
Pozdr.
Edit: olśnienie się troche spóźniło thx for hlp
Wystarczy wziąć a i b takie, że a-b=/=1, stąd pierwszy nawias będzie dzielił liczbę. Drugi nawias nigdy nie przyjmuje wartości 1 => czyli ta liczba nie jest liczbą pierwszą
można temat zamknąć/wyrzucić, ew. pozostawić dla innych.
Pozdr.
Edit: olśnienie się troche spóźniło thx for hlp
-
- Użytkownik
- Posty: 19
- Rejestracja: 17 lis 2005, o 23:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: augustow
- Podziękował: 6 razy
Czy jest liczbą pierwszą.
Fakt, trzeba by zaznaczyć, że gdy a>b, to ten nawias jest różny od jedynki i dzieli tą liczbę. Chodzi mi o to, że nie jest liczbą pierwszą w ogólności.
pozdr.
pozdr.
-
- Użytkownik
- Posty: 195
- Rejestracja: 13 paź 2005, o 17:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jelenia Góra
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 28 razy
Czy jest liczbą pierwszą.
Nieprawda, dla a=3 i b=2 (a>b) ów nawias różny od jedynki nie jest. W dodatku ten nawias zawsze dzieli tą liczbę. Tak naprawdę nabijam się trochę z Twojej nieścisłościdudi_pl pisze:gdy a>b, to ten nawias jest różny od jedynki i dzieli tą liczbę.
-
- Użytkownik
- Posty: 19
- Rejestracja: 17 lis 2005, o 23:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: augustow
- Podziękował: 6 razy
Czy jest liczbą pierwszą.
ehh..
problemem jest tylko wyprowadzić ten wzór.. ktoś wie jakim sposobem or sth?
problemem jest tylko wyprowadzić ten wzór.. ktoś wie jakim sposobem or sth?
-
- Użytkownik
- Posty: 195
- Rejestracja: 13 paź 2005, o 17:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jelenia Góra
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 28 razy
Czy jest liczbą pierwszą.
Mówisz o tym wzorze? Przemnóż wszystko a zobaczysz, że lewa strona równa się prawej ; )dudi_pl pisze:\(\displaystyle{ a^{5} - b^{5} = (a-b)*(a^{4} + a^{3} b + a^{2} b^{2} + a b^{3} +b^{4})}\)
Ewentualnie możesz też spróbować indukcyjnie.
-
- Użytkownik
- Posty: 195
- Rejestracja: 13 paź 2005, o 17:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jelenia Góra
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 28 razy
Czy jest liczbą pierwszą.
Mógłbyś mi pokazać, jak to wykazać za pomocą wzoru dwumianowego Newtona? Najłatwiej jest trochę pododawać, poodejmować i wyłączyć a-b przed nawias, jak to jest przedstawione chyba w większości podręczników.
-
- Użytkownik
- Posty: 5405
- Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: a z Limanowej
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 422 razy
Czy jest liczbą pierwszą.
Z największą przyjemnością, szczególnie, że sam to wymyśliłem (znaczy, bez niczyjej pomocy i inspiracji, podobnież jak rozłożenie sumy kwadratów w rzeczywistych na iloczyn ).
\(\displaystyle{ (a-b)^{5} = a^{5} - 5a^{4}b + 10a^{3}b^{2} - 10a^{2}b^{3} + 5ab^{4} - b^{5} \\ a^{5}-b^{5} = (a-b)^{5} + 5a^{4}b - 5ab^{4} - 10a^{3}b^{2} + 10a^{2}b^{3}= (a-b)^{5} + 5ab(a^{3}-b^{3}) - 10a^{2}b^{2}(a-b) = (a-b)^{5} + 5ab(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}) - 10a^{2}b^{2}(a-b) = \\ (a-b)((a-b)^{4} + 5ab(a^{2}+ab+b^{2}) - 10a^{2}b^{2})}\)
No i niniejszym rozłożone . Podobnież robi się dla sumy.
\(\displaystyle{ (a-b)^{5} = a^{5} - 5a^{4}b + 10a^{3}b^{2} - 10a^{2}b^{3} + 5ab^{4} - b^{5} \\ a^{5}-b^{5} = (a-b)^{5} + 5a^{4}b - 5ab^{4} - 10a^{3}b^{2} + 10a^{2}b^{3}= (a-b)^{5} + 5ab(a^{3}-b^{3}) - 10a^{2}b^{2}(a-b) = (a-b)^{5} + 5ab(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}) - 10a^{2}b^{2}(a-b) = \\ (a-b)((a-b)^{4} + 5ab(a^{2}+ab+b^{2}) - 10a^{2}b^{2})}\)
No i niniejszym rozłożone . Podobnież robi się dla sumy.