Znajdź wszystkie takie całkowite \(\displaystyle{ x,y,z}\), że \(\displaystyle{ 2 qslant x qslant y qslant z}\) i
\(\displaystyle{ \frac{xy-1}{z}}\), \(\displaystyle{ \frac{yz-1}{x}}\) , \(\displaystyle{ \frac{zx-1}{y}}\) są całkowite
Znaleźć wszystkie x,y,z
-
max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
Znaleźć wszystkie x,y,z
Niech te wyrażenia będą całkowite czyli:
\(\displaystyle{ z|xy - 1, \ x|yz - 1, \ y|xz - 1}\), oraz niech \(\displaystyle{ 2\leqslant x\leqslant y\leqslant z}\)
Mamy:
\(\displaystyle{ yz|(xz - 1)(xy - 1) = x^{2}yz - xy - xz + 1 \equiv -xy-xz + 1\pmod{yz}}\)
zatem \(\displaystyle{ x(y+z) \equiv 1 od{yz}}\).
Z założonej nierówności \(\displaystyle{ 2\leqslant x\leqslant y\leqslant z}\) wynika, że:
\(\displaystyle{ 1< 2 < x(y + z) qslant 2xz qslant 2yz < 2yz + 1}\)
czyli, aby powyższa kongruencja zachodziła, musi być
\(\displaystyle{ (\xi)\qquad x(y + z) = yz + 1}\)
W szczególności \(\displaystyle{ x| yz + 1}\), a ponieważ z założenia \(\displaystyle{ x|yz - 1}\), i \(\displaystyle{ x\geqslant 2}\) to \(\displaystyle{ x = 2}\).
Zatem z założenia \(\displaystyle{ z | 2y - 1}\). Ponieważ \(\displaystyle{ 2\leqslant y qslant z}\), to musi być \(\displaystyle{ 2y - 1 = z}\). Podstawiając wyliczone \(\displaystyle{ x, z}\) do \(\displaystyle{ (\xi)}\) dostajemy równanie kwadratowe \(\displaystyle{ 2y^{2} - 7y + 3 = 0}\), które ma jeden pierwiastek całkowity \(\displaystyle{ y=3}\). Pozostaje sprawdzić, że trójka \(\displaystyle{ (x,y,z) = (2,3,5)}\) spełnia warunki zadania.
\(\displaystyle{ z|xy - 1, \ x|yz - 1, \ y|xz - 1}\), oraz niech \(\displaystyle{ 2\leqslant x\leqslant y\leqslant z}\)
Mamy:
\(\displaystyle{ yz|(xz - 1)(xy - 1) = x^{2}yz - xy - xz + 1 \equiv -xy-xz + 1\pmod{yz}}\)
zatem \(\displaystyle{ x(y+z) \equiv 1 od{yz}}\).
Z założonej nierówności \(\displaystyle{ 2\leqslant x\leqslant y\leqslant z}\) wynika, że:
\(\displaystyle{ 1< 2 < x(y + z) qslant 2xz qslant 2yz < 2yz + 1}\)
czyli, aby powyższa kongruencja zachodziła, musi być
\(\displaystyle{ (\xi)\qquad x(y + z) = yz + 1}\)
W szczególności \(\displaystyle{ x| yz + 1}\), a ponieważ z założenia \(\displaystyle{ x|yz - 1}\), i \(\displaystyle{ x\geqslant 2}\) to \(\displaystyle{ x = 2}\).
Zatem z założenia \(\displaystyle{ z | 2y - 1}\). Ponieważ \(\displaystyle{ 2\leqslant y qslant z}\), to musi być \(\displaystyle{ 2y - 1 = z}\). Podstawiając wyliczone \(\displaystyle{ x, z}\) do \(\displaystyle{ (\xi)}\) dostajemy równanie kwadratowe \(\displaystyle{ 2y^{2} - 7y + 3 = 0}\), które ma jeden pierwiastek całkowity \(\displaystyle{ y=3}\). Pozostaje sprawdzić, że trójka \(\displaystyle{ (x,y,z) = (2,3,5)}\) spełnia warunki zadania.