podzielność
-
Ewa 20
- Użytkownik
- Posty: 164
- Rejestracja: 18 lut 2007, o 12:55
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Ozimek
- Podziękował: 18 razy
- Pomógł: 12 razy
podzielność
Udowodnij, że każda liczba \(\displaystyle{ n^{5}-n}\) jest podzielna przez 10
Ostatnio zmieniony 5 lis 2008, o 18:40 przez Ewa 20, łącznie zmieniany 1 raz.
-
kuch2r
- Użytkownik
- Posty: 2302
- Rejestracja: 18 paź 2004, o 18:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław/Ruda Śląska
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 408 razy
podzielność
ZAuwazmy, ze:
\(\displaystyle{ n(n^4-1)=(n^2-1)n(n^2+1)=(n-1)n(n+1)(n^2+1)}\)
Mamy iloczyn kolejnych trzech liczb całkowitych. Stąd przynajmniej jedna z nich musi byc podzielna przez 2.
Dalej wystarczy udowodnic przez 5.
A tutaj możemy powołac sie na Małe Twierdzenie Fermata. Automatycznie uzyskując szukana podzielnośc
\(\displaystyle{ n(n^4-1)=(n^2-1)n(n^2+1)=(n-1)n(n+1)(n^2+1)}\)
Mamy iloczyn kolejnych trzech liczb całkowitych. Stąd przynajmniej jedna z nich musi byc podzielna przez 2.
Dalej wystarczy udowodnic przez 5.
A tutaj możemy powołac sie na Małe Twierdzenie Fermata. Automatycznie uzyskując szukana podzielnośc