Liczby niewymierne

marsoft · Post autor: **marsoft** » 18 lis 2005, o 20:56

1. Uzadadnić, że podane liczby są niewymierne.
a)\(\displaystyle{ tg1^{\circ}}\)
b) \(\displaystyle{ \sqrt[3]{2}-sqrt{2}}\)

z pierwszym to nie mam pojęcia jak zapisać ten kąt w postaci pierwiastka.
W drugim to problem to rodzaj pierwiastka.

2. Pokazać, że są wymierne
a) \(\displaystyle{ \sqrt[3]{7-5sqrt{2}}+\sqrt[3]{7+5sqrt{2}}}\)

wielkie dzięki za pomoc

Rogal · Post autor: **Rogal** » 18 lis 2005, o 21:26

Jeśli chodzi o drugie to podnieś sobie do sześcianu takie liczby, jak
\(\displaystyle{ \sqrt{2}-1}\) i \(\displaystyle{ \sqrt{2}+1}\)

tommik · Post autor: **tommik** » 18 lis 2005, o 21:43

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{7-5sqrt{2}}+\sqrt[3]{7+5sqrt{2}}=x}\)
\(\displaystyle{ 7-5\sqrt{2}+3\sqrt[3]{(7-5\sqrt{2})^2 (7+5\sqrt{2})}+3\sqrt[3]{(7+5\sqrt{2})^2 (7-5\sqrt{2})}+7+5\sqrt{2}=x^3}\)
\(\displaystyle{ 14+3\sqrt[3]{(49-50)(7-5\sqrt{2})}+3\sqrt[3]{(49-50)(7+5\sqrt{2})}=x^3}\)
\(\displaystyle{ 14-3\sqrt{7-5\sqrt{2}}-3\sqrt{7+5\sqrt{2}}=x^3}\)
\(\displaystyle{ 14-3x=x^3}\)
\(\displaystyle{ x^3+3x-14=0}\)
\(\displaystyle{ (x-2)(x^2-2x+7)=0}\)
x=2

marsoft · Post autor: **marsoft** » 19 lis 2005, o 00:38

\(\displaystyle{ (x+2)(x^2-2x+7)=0}\)
x=-2

mam rozumieć x=2

Teraz tylko problem z tym tg nom i Rogal mógłbyś wytłumaczyć jak rozwiązać to drugie bo nie czaje Twojej strategi

thx

Comma · Post autor: **Comma** » 19 lis 2005, o 12:17

masz rozumieć x=-2, jeżeli podstawisz 2, to nie wyjdzie Ci zero :]

Tomasz Rużycki · Post autor: **Tomasz Rużycki** » 19 lis 2005, o 12:51

To z tangensem można nie-wprost.

Załóżmy, że \(\displaystyle{ \tan 1^o}\) jest liczbą wymierną, wtedy \(\displaystyle{ \tan 32^o}\) i \(\displaystyle{ \tan 2^o}\) są liczbami wymiernymi, więc \(\displaystyle{ \tan (32^o - 2^o)=\tan 30^o}\) jest również liczbą wymierną, sprzeczność.

Co do 1. b) - skonstruuj sobie wielomian o współczynnikach całkowitych mający taki pierwiastek, nie powinienes mieć problemu. Potem zastosuj twierdzenie o pierwiastkach wymiernych.

Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki

marsoft · Post autor: **marsoft** » 19 lis 2005, o 13:27

Comma pisze:masz rozumieć x=-2, jeżeli podstawisz 2, to nie wyjdzie Ci zero :]

hehe rozwiazuje na kalkulatorze i wychodzi jak w morde szczlił 2 . Przecież wielomian \(\displaystyle{ x^3+3x-14}\) ma pierwiastek dla 2 a co zatym idzie \(\displaystyle{ (x^3+3x-14)/(x-2)=x+2x+7}\)co daje w konsekwencji \(\displaystyle{ (x-2)(x+2x+7)}\) wiec x=2 a nie -2

no kalkulator i obliczenia to potwierdzają

Rogal · Post autor: **Rogal** » 19 lis 2005, o 13:30

Po prostu zrób, to co Ci napisałem, a ujrzysz strategię

Comma · Post autor: **Comma** » 19 lis 2005, o 14:42

marsoft, prawda. Przepraszam, że Cię w błąd wprowadzam, nie popatrzyłam na wcześniejsze obliczenia Tommik'a. Shame on me

tommik · Post autor: **tommik** » 19 lis 2005, o 14:49

OK, poprawiłem, pomyliłem - z +.