dopełnianie do kwadratu

[binaj]

Wykazać, że dla dowolnych liczb całkowitych \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), o różnej parzystości można dobrać taką liczbę całkowitą \(\displaystyle{ c}\), że każda z liczb \(\displaystyle{ a+c}\), \(\displaystyle{ b+c}\), \(\displaystyle{ ab+c}\) jest kwadratem liczby całkowitej.

[mol_ksiazkowy]

hmm chyba mozna zaczac od tego, iz gdy \(\displaystyle{ b-a=1}\) to \(\displaystyle{ c=-a}\)

[Parton]

Niech \(\displaystyle{ a = 2k+1}\), zaś \(\displaystyle{ b =2l}\), gdzie k i l całkowite.

Wystarczy wziąć
\(\displaystyle{ c = (k-l)^2 - 2l}\)

Fajne zadanko swoją drogą.

[binaj]

świetnie!
robiłeś metodą prób i błędów czy jakoś inaczej?

[Parton]

Zauważyłem, że 2k + 1 można dopełnić do kwadratu w następujący sposób:
wziąć \(\displaystyle{ c = 2m + (m+k)^2}\). Wtedy dla każdego m a+c się elegancko zwija. No to się zastanowiłem jakie musi być m, żeby b+ c się zwijało. Wyszło mi, że m może być równe -2l. I wtedy szczęśliwie się złożyło, że moje c pasowało też do ab+c.

Przyszło mi do głowy takie pytanie: Ile jest liczb całkowitych c spełniających warunki zadania?