dopełnianie do kwadratu
-
- Użytkownik
- Posty: 547
- Rejestracja: 20 lis 2007, o 15:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bielsko-Biała
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 120 razy
dopełnianie do kwadratu
Wykazać, że dla dowolnych liczb całkowitych \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), o różnej parzystości można dobrać taką liczbę całkowitą \(\displaystyle{ c}\), że każda z liczb \(\displaystyle{ a+c}\), \(\displaystyle{ b+c}\), \(\displaystyle{ ab+c}\) jest kwadratem liczby całkowitej.
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11414
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
dopełnianie do kwadratu
hmm chyba mozna zaczac od tego, iz gdy \(\displaystyle{ b-a=1}\) to \(\displaystyle{ c=-a}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 158
- Rejestracja: 10 gru 2008, o 23:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wawa
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 10 razy
dopełnianie do kwadratu
Niech \(\displaystyle{ a = 2k+1}\), zaś \(\displaystyle{ b =2l}\), gdzie k i l całkowite.
Wystarczy wziąć
\(\displaystyle{ c = (k-l)^2 - 2l}\)
Fajne zadanko swoją drogą.
Wystarczy wziąć
\(\displaystyle{ c = (k-l)^2 - 2l}\)
Fajne zadanko swoją drogą.
-
- Użytkownik
- Posty: 158
- Rejestracja: 10 gru 2008, o 23:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wawa
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 10 razy
dopełnianie do kwadratu
Zauważyłem, że 2k + 1 można dopełnić do kwadratu w następujący sposób:
wziąć \(\displaystyle{ c = 2m + (m+k)^2}\). Wtedy dla każdego m a+c się elegancko zwija. No to się zastanowiłem jakie musi być m, żeby b+ c się zwijało. Wyszło mi, że m może być równe -2l. I wtedy szczęśliwie się złożyło, że moje c pasowało też do ab+c.
Przyszło mi do głowy takie pytanie: Ile jest liczb całkowitych c spełniających warunki zadania?
wziąć \(\displaystyle{ c = 2m + (m+k)^2}\). Wtedy dla każdego m a+c się elegancko zwija. No to się zastanowiłem jakie musi być m, żeby b+ c się zwijało. Wyszło mi, że m może być równe -2l. I wtedy szczęśliwie się złożyło, że moje c pasowało też do ab+c.
Przyszło mi do głowy takie pytanie: Ile jest liczb całkowitych c spełniających warunki zadania?