Liczba złożona

[szymek12]

Dla jakich \(\displaystyle{ n}\) naturalnych, liczba \(\displaystyle{ n ^{4}+64 ^{n}}\) jest liczbą złożoną?

[MagdaW]

Dla parzystych i nieparzystych
Dowód.
Dla n parzystego wartość będzie zawsze parzysta, co jest dosyć oczywiste.
Dla n nieparzystego n=2k+1:
\(\displaystyle{ n ^{4}+(2 ^{6}) ^{n}=(n ^{2}+2 ^{3n}) ^{2}-n ^{2} 2 ^{6k+4} =( n ^{2}+2 ^{3n}+2 ^{3k+2} )( n ^{2}+2 ^{3n}-2 ^{3k+2})}\)

Wystarczy zauważyć, że wartość drugiego wyrażenia zawsze będzie różna od 1 czy 0.