Równanie z liczbą pierwszą

[Desmondo]

Rozwiąż równanie w liczbach naturalnych:
\(\displaystyle{ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{p}}\), gdzie p - pewna liczba pierwsza.
Doszedłem do wniosku, że jeśli x = y, wtedy p = 0,5x i takich liczb pierwszych jest nieskończenie wiele, ale czy można coś więcej na ten temat powiedzieć lub bardziej dedukcyjnie rozwiązać to równanie?

[Xitami]

\(\displaystyle{ \frac{1}{2p}+ \frac{1}{2p}= \frac{1}{p}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{ \frac{1}{ \frac{1}{p}- \frac{1}{p+1} } } + \frac{1}{p+1}= \frac{1}{p}}\)

[Sylwek]

Oczywiście x>p i y>p (gdyż x,y są naturalne). Poprawne rozwiązanie:
\(\displaystyle{ \iff xy=px+py \iff xy-px-py+p^2=p^2 \iff (x-p)(y-p)=p^2}\)

Z tego mamy: \(\displaystyle{ \begin{cases}x-p=p^2 \\ y-p=1 \end{cases} \begin{cases} x-p=p \\ y-p=p \end{cases} \begin{cases}x-p=1 \\ y-p=p^2 \end{cases}}\)

Zatem wszystkie rozwiązania to: \(\displaystyle{ (x,y) \lbrace (p^2+p,p+1), \ (2p,2p), \ (p+1,p^2+p) \rbrace}\).