Wykazać, że dla dodatnich rzeczywistych a, b zachodzi: \(\displaystyle{ 2(a+b)^{2}+a+b \ge 4(a \sqrt{b} + b \sqrt{a}) \\ \\ 2a^{2}+4ab+2b^{2}+a+b \ge 4 a \sqrt{b} + 4 b \sqrt{a} \\ \frac{1+2a}{b} + 4 + \frac{1+2b}{a} \ge \frac{4 \sqrt{b}}{b} + \frac{4 \sqrt{a}}{a} \\ \frac{2(\frac{1}{2} + a +b-2 \sqrt{b} ) }{b} + \frac{2( \frac{1}{2} + a+b-2 \sqrt{a} ) }{a} \ge 0 \\ \frac{ \frac{1}{2} + a +b-2 \sqrt{b}}{b} + \frac{ \frac{1}{2} + a+b-2 \sqrt{a}}{a} \ge 0}\)
Teraz skoro a i b są dodatnie, to aby nierówność zaszła liczniki muszą być nieujemne, czyli:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} +a+b-2 \sqrt{b} \ge 0 \\ \frac{2a+2b+1}{2} \ge 2 \sqrt{b} \\ \frac{a+a+b+b+1}{4} \ge \sqrt{b}}\)
Teraz z Cauchy'ego śr. arytm. \(\displaystyle{ \ge}\) śr. geometr. mamy:
\(\displaystyle{ \frac{a+a+b+b}{4} \ge \sqrt[4]{a^{2} b^{2}} = \sqrt{ab} \\ \frac{a+a+b+b+1}{4} \ge \sqrt{ab} + \frac{1}{4} > \sqrt{b}}\)
Zatem udowodniłem nieujemność pierwszego licznika. Z drugim analogicznie i koniec zadania (tzn. nierówności)
Pytanie - czy dobrze oraz czy da się to może zrobić jakoś bardziej "elegancko" ?
Z góry dziękuję za pomoc.
