Wykazać, że jeśli a>b>c, to \(\displaystyle{ a^{2}b + b^{2}c + c^{2}a > a^{2}c + c^{2}b + b^{2}a}\)
Mam nadzieję, że umieściłem zadanie w dobrym dziale. Pochodzi ono z konkursu im. Prof. J. Marszała z 2007 r.
Wykazać, że jeżeli a>b>c...
-
Sylwek
- Użytkownik
- Posty: 2716
- Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 657 razy
Wykazać, że jeżeli a>b>c...
Z pewnością wystarczy przerzucić wszystko na jedną stronę i zwinąć w iloczyn. Aż spróbuję 
:
\(\displaystyle{ L-P=ab(a-b)+c^2(a-b)+c(b^2-a^2)=ab(a-b)+c^2(a-b)-c(a-b)(a+b)= \\ =(a-b)(ab+c^2-c(a+b))=(a-b)(ab+c^2-ac-bc)=(a-b)(c(c-a)-b(c-a))= \\ =(a-b)(c-a)(c-b) = (a-b)(a-c)(b-c)}\)
Każdy z tych trzech nawiasów jest >0, zatem \(\displaystyle{ L-P>0 \Rightarrow L>P}\), co należało dowieść (L - lewa strona nierówności, P - prawa strona nierówności).
:\(\displaystyle{ L-P=ab(a-b)+c^2(a-b)+c(b^2-a^2)=ab(a-b)+c^2(a-b)-c(a-b)(a+b)= \\ =(a-b)(ab+c^2-c(a+b))=(a-b)(ab+c^2-ac-bc)=(a-b)(c(c-a)-b(c-a))= \\ =(a-b)(c-a)(c-b) = (a-b)(a-c)(b-c)}\)
Każdy z tych trzech nawiasów jest >0, zatem \(\displaystyle{ L-P>0 \Rightarrow L>P}\), co należało dowieść (L - lewa strona nierówności, P - prawa strona nierówności).