Podzielność, liczby względnie pierwsze

[woznyadam]

Witam,
mam kilka zadan i troche problemow z nimi



3) Mowimy, ze dwie liczby naturalne sa wzglednie pierwsze wtedy i tylko wtedy, gdy ich jedynym wspolnym dzielnikiem naturalnym jest 1.
a) rozstrzygnij, czy liczby 14 i 15 sa wzglednie pierwsze
b) uzasadnij, ze liczby 273 i 522 nie sa wzglednie pierwsze
c) liczba a jest pierwsza, natomiast liczby a i b nie sa wzglednie pierwsze. Podaj zaleznosc jaka zachodzi miedzy liczbami a i b

i z tego co mi wyszlo:
a)
\(\displaystyle{ 14|2\\7|7\\1|}\)

\(\displaystyle{ 15|3\\5|5\\1|}\)
i z tego wychodzi ze wspolnym dzielnikiem jest tylko 1
czy tak wystarczy zapisac?

b)
\(\displaystyle{ 273|3\\91|91\\1|}\)

\(\displaystyle{ 522|2\\261|3\\83|83\\1|}\)
i tutaj wspolnym dzielnikiem jest 3, wiec liczby nie sa wzglednie pierwsze

c) i tutaj nie wiem jak zrobic

[maise]

c) Liczba \(\displaystyle{ a}\) jest liczbą pierwszą, czyli ma dokładnie dwa dzielniki: \(\displaystyle{ 1}\) i samą siebie. Skoro \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) nie są względnie pierwsze, to mają więcej niż jeden wspólny dzielnik dzielnik naturalny, więc w tym przypadku \(\displaystyle{ a}\).


\(\displaystyle{ \begin{tabular}{c|c}

a & a\\
1
\end{tabular}}\)

\(\displaystyle{ \frac{b}{a} N}\)

[woznyadam]

ok, dzieki a zapis u gory dobry?

[maise]

\(\displaystyle{ 91=7 13}\)

Reszta dobrze.

[woznyadam]

dzieki za pomoc

4) liczba naturalna jest podzielna przez 11 wtedy i tylko wtedy, gdy roznica sum jej cyfr stojacych na miejscach parzystych i stojacych na miejscach nieparzystych jest podzielna przez 11.
wykorzystujac podane twierdzenie, wykonaj ponizsze polecenia.
a) sprawdz, czy liczba 842963 jest podzielna przez 11
b) jaka cyfre nalezy wstawic w miejsce znaku *, aby liczba 15*8 byla podzielna przez 11
c) ile jest takich czterocyfrowych liczb podzielnych przez 11, ktorych cyfra setek o cyfra jednosci jest 8? podaj najmniejsza oraz najwieksza liczbe o tej wlasnosci

mysle ze a i b mam zrobione dobrze, jednak co do c) nie ejstem pewien:
c) x8y8
(8+8)-(x+y)=11
16-(x+y)=11
16-11=x+y
5=x+y

5=0+5;1+4;2+3;3+2;4+1;5+0
1848;2838;3828;4818;5808
Jest tych liczb 5
Najmniejsza to 1848
Najwieksza to 5808

Tylko czy taki zapis moze byc?

[Fredi]

to co podałeś jest dobrze. czy zapis jest dobry to zależy od osoby sprawdzającej, ja bym jeszcze jakiś komentarz może dodał żeby nie było wątpliwości. Niestety zapomniałeś jeszcze, że 0 także jest podzielne przez 11 zatem drugi przypadek jest taki:
(8+8)-(x+y)=0
x+y=16
i jak rozważysz jeszcze ten przypadek to dopiero szukasz liczby najmniejszej i największej
PS: czy to jest zadanie ze zbioru pana Kiełbasy, bo z kąś mi się wydaje znajome:)
Pozdrawiam

[woznyadam]

dzieki, a co do tego 0 jestes pewien? bo ja juz sam nie wiem, bo za kazdym razem nauczycielka mowi ze sie nie dzieli przez 0 itp

niestety nie wiem z jakiego jest to zbioru bo otrzymalismy tylko ksero

[ Dodano: 18 Października 2008, 20:31 ]
i jeszcze 2 zadania co do ktorych nie wiem
5. Liczba szesciocyfrowa n jest podzielna prez 7 wtedy i tylko wtedy, gdy roznica liczb trzycyfrowcyh wyznaczonych przez trzy poczatkowe cyfry liczby n i trzy pozostale cyfry liczby n, jest podzielna przez 7. Wykorzystujac podane twierdzenie, wykonaj ponizsze polecenia.
a) sprawdz, czy liczba 895123 jest podzielna przez 7
b) sprawdz, czy liczba 35879732 jest podzielna przez 7
c) kazda z pieciu poczatkowych cyfr liczby szesciocyfrowej podzielnej przez 7 jest rowna a, zas cyfra jednosci rowna jest \(\displaystyle{ b i b a}\). Jaki warunek spelniaja cyfry a i b? Odpowiedz uzasadnij

6. Cyfry setek i jednosci liczby trzycyfrowej n sa liczbami nieparzystymi. Zapisujac cyfry liczby n w odwrotnej kolejnosci, otrzymalismy liczbe trzycyfrowa k. Uzasadnij, ze liczba n-k jest podzielna przez 198.

[maise]

5.

a)

\(\displaystyle{ \frac{895-123}{7} =110,28... \frac{895-123}{7} N}\)



b)

\(\displaystyle{ \frac{35+879-732}{7} =26 \frac{35+879-732}{7} N}\)


c)

\(\displaystyle{ \frac{a-b}{7} Z}\)

[Fredi]

co do 0 jestem pewien bo nie dzieli się przez 0 tak jak napisałeś. Czyli \(\displaystyle{ \frac{11}{0}}\) byłoby błędem, ale \(\displaystyle{ \frac{0}{11}}\) jest jak najbardziej poprawne.
Dobra teraz co do następnych zadań:
zad5.
a) 895-123=772
\(\displaystyle{ \frac{772}{7}}\)=110\(\displaystyle{ \frac{2}{7}}\) zatem liczba ta nie dzieli się na 7
b) robisz analogicznie, tylko żeby skorzystać z własności z zadania musisz sobie rozbić:
35879732=35000000+879732 35000000 na pewno jest podzielne na 7 bo to wielokrotność 35, czyli sprawdzasz (tak jak w punkcie a) tylko 879732 i jeśli jest podzielne to cała liczba także jest podzielna na 7.
c) tą liczbę możesz zapisać w postaci:
aaaaab (każda litera oznacza cyfrę)
potem wg twierdzenia w zadaniu robisz:
100a+10a+a-100a-10a-b=7 (bo musi być podzielne przez 7)
i otrzymujesz a-b=7 czyli masz 3 pary liczb (a=9,b=2;a=8,b=1;a=7,b=0) oczywiście założyłem że \(\displaystyle{ a 0}\).
zadanie6. dla mnie najłatwiej chyba oznaczyć sobie cyfrę nieparzystą jako n-1, a parzystą jako 2n i rozpatrzeć 2 przypadki:
1. gdy cyfra w środku jest parzysta
2. gdy cyfra w środku jest nieparzysta
pozdrawiam: Fredi

[woznyadam]

dzieki za pomoc a co do 5c) to jak napisac odp? ze jaki warunek spełniają?

zastanawiam sie nad zadaniem 8
8. Liczba naturalna n, ktora jest rowna sumie wszystkich swoich dzielnikow naturalnych mniejszych od n, nazywamy liczba doskonala.
i tutaj nie weim jak zrobic b)
b) znajdz liczbe doskonala, ktora jest podzielna przez 4 i ma dokladnie 6 dzielnikow
w pamieci teraz wyszlo mi ze jest to 12, ale jak to zapisac?