Nierówność

[anorian]

Udowodnić, że jeżeli \(\displaystyle{ x_{i} }\) to dla każdego\(\displaystyle{ n qslant 3}\)zachodzi:
\(\displaystyle{ x_{1}^{2}+...+x_{n}^{2}-x_{1}x_{2}-...-x_{n}x_{1} qslant [ \frac{n}{2}]}\)

[limes123]

Rozwazmy funkcje \(\displaystyle{ f(x)=x^2+x_1^2+x_2^2+...+x_{n-1}^2-xx_1-x_1x_2-...-x_{n-1}x}\) dla x w . Funkcja ta jest wypukła, czyli maksimum jest w 0 lub 1. Widzimy zatem, ze lewa strona nierownosci osiaga najwyzsza wartosc, gdy x1,x2,...,xn naleza do {0,1}. Teraz juz latwo mozna wykazac, ze maks jest, kiedy x1,x3,... - 1 oraz x2,x4,... - 0.

[anorian]

Oka, dzięki. A skąd wiesz, że ta funkcja jest wypukła w tym przedziale?

Mam jeszcze jedno podobne zadanie, z którym mam problem:
\(\displaystyle{ a,b,c }\)
\(\displaystyle{ \sqrt{a(1-b)(1-c)} + \sqrt{b(1-c)(1-a)} + \sqrt{c(1-a)(1-b)} qslant 1+ \sqrt{abc}}\)

[chris139]

Funkcja jest wypukła jeśli druga pochodna jest większa od zera
w tym zadaniu podstaw (ze względu na przedział)
\(\displaystyle{ a=sin^2x\\
b=sin^2y\\
c=sin^2z}\)

[ Dodano: 18 October 2008, 12:41 ]
\(\displaystyle{ sinx\cdot cosy cosz+ siny cosz cos x+sinz\cdot cosx cosy q 1+sinx\cdot siny sinz\\
sinx\cdot cosy cosz+ siny cosz cos y +sinz\cdot cosx cosy -sinx
cdot siny cdot sinz q 1\\
cosz((siny cosx+cosx siny)+sinz(cosx\cdot cosy-sinx\cdot siny) q 1\\
sin(x+y)\cdot cosz+sinz cos(x+y) q 1\\
sin(x+y+z) q 1}\)
To jest oczywiście prawdziwe