Liczba złożona, potęgi [udowodnić]

[patry93]

Udowodnij, że dla dla naturalnych \(\displaystyle{ n qslant 1}\) wszystkie liczby postaci \(\displaystyle{ 3 2^{2^{2n}} + 1}\) są złożone.

Sprawdzając \(\displaystyle{ n=1}\), domyślam się, że należy tutaj badać reszty z dzielenia przez 7, ponieważ \(\displaystyle{ 3 2^{2^{2}} + 1 = 49 = 7^{2}}\)

Więc badam możliwe reszty dla liczb postaci \(\displaystyle{ 2^{2n}}\) modulo 7:
\(\displaystyle{ 2^{2} \equiv 4 (mod7) \\ 2^{4} \equiv 2 (mod7) \\ 2^{6} \equiv 1 (mod7) \\ 2^{8} \equiv 4 (mod7)}\)
Zatem widzimy, że okres możliwych reszt \(\displaystyle{ T=3 2^{2n} = 3k+r \ , \ k \mathbb{N} \ \ k \lbrace 0,1,2 \rbrace \\ 3 2^{2^{2n}} + 1 = 3 2^{3k+r} + 1 = 3 (2^{3})^{k} 2^{r} + 1 \equiv 3 1^{k} 2^{r} + 1}\)
No i oczywiście coś jest źle, ale nie widzę co... :/
Podstawiając resztę równą 1 wszystko wychodzi ładnie, tzn.: \(\displaystyle{ 3 1^{k} 2^{1} + 1 \equiv 7 \equiv 0 (mod7)}\)
Ale przecież reszty 0 i 2 też są możliwe, a wtedy...: \(\displaystyle{ 3 1^{k} 2^{2} + 1 \equiv 12 + 1 \equiv 5+1 \equiv 6 (mod7)}\)


Z góry dziękuję za pomoc.

[Sylwek]

\(\displaystyle{ 2^{2n}=4^n \\ 4^n \equiv 4 \ (mod \ 6) \Rightarrow 4^n=6k+4 \\ 3 \cdot 2^{2^{2n}} + 1 = 3 \cdot 2^{6k+4}+1 =3 \cdot (2^6)^k \cdot 2^4 + 1 \equiv 3 \cdot 1^k \cdot 16 + 1 \equiv 0 \ (mod \ 7) \\ 3 \cdot 2^{2^{2n}} + 1 \ge 49>7}\)
Z tego wynika, że każda taka liczba jest postaci \(\displaystyle{ 7s}\), gdzie s jest liczbą naturalną większą od 1, zatem każda taka liczba jest złożona, co należało dowieść.

[patry93]

Sylwek - dziękuję za rozwiązanie, widzę, że znów należało znaleźć takie modulo, aby reszta się nie zmieniała.... lecz czy możesz wskazać błąd w moim rozumowaniu?
Naprawdę nie wiem co mam źle :/

[Sylwek]

lecz czy możesz wskazać błąd w moim rozumowaniu

Rozpatrujesz reszty \(\displaystyle{ 4^n}\) modulo 7, które się zmieniają, a naszym celem było poszukanie takiego modulo, żeby te reszty się nie zmieniały.

[patry93]

Ok, dzięki... ale jeszcze jedno - czy jest to reguła? (tzn. szukanie niezmiennych reszt?)

[Sylwek]

Często jest to przydatne.

[patry93]

Ok, aby potrenować wziąłem się za kolejne, chyba troszkę trudniejsze zadanie (piszę tutaj, bo zakładanie nowego wątku jest raczej bez sensu ):
Udowodnij, że dla naturalnych \(\displaystyle{ n}\) wszystkie liczby postaci \(\displaystyle{ 7 2^{2^{4n+3}} + 1}\) są złożone.

\(\displaystyle{ 2^{4n+3} = (2^{4})^{n} 2^{3} = 16^{n} 8 \equiv 1^{n} 3 \equiv 3 (mod \ 5) 2^{4n+3} = 5k+3 \ , \ k \mathbb{N} \\ 7 2^{2^{4n+3}} + 1 = 7 2^{5k+3}+1 = 7 (2^{5})^{k} 2^{3} + 1 \equiv \ldots}\)
Nie mogę znów znaleźć odpowiedniego modulo.... :/
Czy jestem tak tępy, czy może kiedyś "wejdzie mi to w krew"? :/

[Sylwek]

dla n=0 ta liczba jest równa 1793=11*163, z drugiej strony: \(\displaystyle{ 2^{10} \equiv 1 \ (mod \ 11)}\), więc dobrze by było wyrazić \(\displaystyle{ 2^{4n+3}}\) jako wyrażenie postaci: \(\displaystyle{ 10k+a}\)...