Każda nieparzysta liczba pierwsza jest postaci \(\displaystyle{ 4k+1}\) lub \(\displaystyle{ 4k-1}\). Wykorzystując zamkniętość zbioru \(\displaystyle{ S}\) względem mnożenia, udowodnij, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci \(\displaystyle{ 4k-1}\).
Chciałem to zadanie rozwiązać nie wprost. Tak oto:
Hipoteza: Załóżmy, że liczb pierwszych postaci \(\displaystyle{ 4k+1}\) jest skończona ilość. Wobec tego, można skonstruować największą taka liczbę. Według mnie, będzie ona miała postać:
\(\displaystyle{ 4[(4k _{1} +1)(4k _{2}+1)...(4k _{n}+1)]+1}\)
no i pytanie co teraz??? Tak mi się coś wydaje, że już chyba niedaleko, że wystarczy coś zauważyć, ale jakoś tego nie widzę...;/
