Dzielniki kwadratów

[tycha]

Muszę udowodnić, że \(\displaystyle{ x^2}\) ma nieparzystą liczbę dzielników. Umiałabym to wytłumaczyć słowami, ale potrzebuje matematycznego dowodu. Czy ktoś mógł by mi pomóc? Proszę o szybką odpowiedź.

[Sylwek]

\(\displaystyle{ x^2}\) dzieli się przez x. Rozpatrzmy teraz dzielniki mniejsze od x: jeśli \(\displaystyle{ d}\) jest dzielnikiem \(\displaystyle{ x^2}\), to \(\displaystyle{ \frac{x^2}{d}}\) też jest dzielnikiem \(\displaystyle{ x^2}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{x^2}{d}>x}\), zatem jeśli liczba dzielników \(\displaystyle{ x^2}\) mniejszych od x wynosi \(\displaystyle{ p}\), to całkowita ilość dzielników wynosi: \(\displaystyle{ 2p+1}\), a więc jest to liczba nieparzysta.

[tycha]

A możesz mi wytłumaczyć dlaczego liczba dzielników wynosi 2p+1? Chciałabym to dobrze wytłumaczyć.

[mat1989]

x^2 dzieli się przez x.

a tutaj nie powinno byc d?

[Sylwek]

A możesz mi wytłumaczyć dlaczego liczba dzielników wynosi 2p+1?

Pokazaliśmy, że każdemu dzielnikowi mniejszemu od x odpowiada dokładnie jeden dzielnik większy od x (i vice versa). Zatem jeśli liczba dzielników mniejszych od x będzie wynosić p, to liczba dzielników większych od x też będzie wynosić p. A dodając to, że jeszcze mamy dzielnik =x, to łączna liczba dzielników jest równa \(\displaystyle{ p+p+1=2p+1}\).

a tutaj nie powinno byc d?

nie

[binaj]

może ja inny dowód przedstawię, niech:

\(\displaystyle{ x^2=p_{1}^{a_{1}} p_{2}^{a_{2}} ...p_{n}^{a_{n}}}\)
gdzie \(\displaystyle{ p_{1}...p{_n}}\) są różnymi liczbami pierwszymi,
wówczas liczby \(\displaystyle{ a_{1}...a_{n}}\) są wszystkie parzyste,
bo inaczej nie można by było rozłożyć \(\displaystyle{ x^2}\) na dwie takie same liczby,
wobec tego ze wzoru na liczbę dzielników liczby
\(\displaystyle{ d=(a_{1}+1) (a_{2}+1) ...(a_{n}+1)}\)
otrzymujemy, że d jest nieparzyste bo każdy składnik iloczynu jest nieparzysty