Liczby parzyste, liczby nieparzyste

[alimak]

udowodnij, ze kwadrat dowolnej liczby nieparzystej jest liczbą nieparzystą

Zakładamy, że k jest liczbą parzystą. Można ją przedstawić w postaci k=2n+1 dla pewnego \(\displaystyle{ n n}\), wówczas \(\displaystyle{ k^{2}= (2n+1)^{2}= 4n^{2}+4n+1}\).
Zauwazmy teraz, że \(\displaystyle{ 4n^{2}+4n+1}\) jest liczba nieparzystą, gdyż mozna ja zapisać w postaci \(\displaystyle{ 4n^{2}+4n+1=2( 2n^{2}+2n +1)}\) Zatem \(\displaystyle{ k^{2}}\) jes liczba nieparzystą.


zad1.
a.Udowodnij , że kwadrat dowolnej liczby parzystej jest liczbą parzystą
b. Udowodnij, ze suma dowolnych dwóch kolejnych liczb naturalnych jest liczbą nieparzystą.
c. Udowodnij, że różnicą kwadratów dowolnych dwóch kolejnych liczb naturalnych jest liczbą nieparzystą.

zad2.
a.Udowodnij, ze suma trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez3.
b. Udowodnij, ze jeśli suma dwóch liczb naturalnych jest liczba parzystą, to ich różnica też jest liczbą parzystą.

[Lorek]

Tu wsio się robi na jedno kopyto, np. 2a: mamy 3 liczby postaci
\(\displaystyle{ k,\;k+1,\; k+2}\)
dodajemy je
\(\displaystyle{ k+k+1+k+2=3k+3=3(k+1)=3m}\)
gdzie oczywiście \(\displaystyle{ k,m\in\mathbb{N}}\) tak więc nasza suma jest podzielna przez 3

[SasQ]

Zauwazmy teraz, że \(\displaystyle{ 4n^{2}+4n+1}\) jest liczba nieparzystą, gdyż mozna ja zapisać w postaci \(\displaystyle{ 4n^2+4n+1=2( 2n^2+2n +1)}\) Zatem \(\displaystyle{ k^2}\) jes liczba nieparzystą.

Błąd.
Jeśli udało Ci się zapisać liczbę w postaci \(\displaystyle{ 2( 2n^2+2n +1)}\) czyli \(\displaystyle{ 2m}\) (gdzie \(\displaystyle{ m}\) w tym przypadku wyniosło \(\displaystyle{ 2n^2+2n +1}\)), to jest to liczba parzysta. Dzieli się przez 2 bez reszty.
Jednak błąd popełniłeś już wcześniej, źle wyciągając wspólny czynnik poza nawias i pisząc \(\displaystyle{ 4n^2+4n+1=2( 2n^2+2n +1)}\). Poprawnie powino być \(\displaystyle{ 4n^2+4n+1=2( 2n^2+2n) +1}\) i wtedy rzeczywiście jest to liczba nieparzysta, gdyż można ją zapisać w postaci \(\displaystyle{ 2m+1}\) (gdzie \(\displaystyle{ m}\) tym razem wynosi \(\displaystyle{ 2n^2+2n}\)).
Dlaczego nikt tego jeszcze nie poprawił?