Skończony zapis pozycyjny ułamka

[marcin_p321]

Witam,
Mam problem ze stwierdzeniem, kiedy istnieje skończony zapis pozycyjny liczby wymiernej w systemie pozycyjnym. To, co tu zapisałem wydaje mi się być prawdą, ale mam problem z dowodem tego faktu.

\(\displaystyle{ \mbox{Dla } l,m\in \mathbb{N_{+}} \mbox{ t.że }l\perp m,\ l< m\mbox{ oraz }D\in \mathbb{N_{+}}\backslash \{1\}\\
\exists_{r_{1},r_{2},\ldots\in \mathbb{Z}_{D}}\ (r_{1}D^{-1}+r_{2}D^{-2}+\ldots=\frac{l}{m}\mbox{ i }\exists_{k\in \mathbb{N_{+}}}\forall_{n\geq k} r_{n}=0}) \iff \\
\forall_{p\in \mathcal{P}}\ p|m\Rightarrow p|D\mbox{, gdzie }\mathcal{P} \mbox{ - zbiór liczb pierwszych}}\)

To czekam na podpowiedzi, kontrprzykład lub cały dowód.

Pozdrawiam

P.S. Po tym, co tu wypisuję chyba widać, że tęskno mi do października