Nie wiedziałem gdzie to dać, ale chyba podpada pod indukcje ;|
ab + bc +ca = 104
Ile jest możliwości (a,b,c) aby zachodziła równość. a,b,c należą do całkowitych
Równanie z 3 niewiadomymi
-
-=Prezes=-
- Użytkownik
- Posty: 63
- Rejestracja: 10 wrz 2007, o 16:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Słupsk
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 1 raz
-
Sylwek
- Użytkownik
- Posty: 2716
- Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 657 razy
Równanie z 3 niewiadomymi
Bardziej ściśle, przyjmijmy najpierw, że \(\displaystyle{ b+c 0}\), wówczas:
\(\displaystyle{ a(b+c)+bc=104 \iff a=\frac{104-bc}{b+c}}\)
Przyjmijmy \(\displaystyle{ c=-b+1}\), wówczas:
\(\displaystyle{ a=\frac{104-bc}{b+c}=104-b(-b+1)=104+b(b-1)=b^2-b+104}\)
Ponieważ liczb całkowitych b jest nieskończenie wiele, zatem jest także nieskończenie wiele trójek liczb całkowitych \(\displaystyle{ (a,b,c)}\) spełniających powyższą równość, a mianowicie:
\(\displaystyle{ (a,b,c)=(k^2-k+104,k,-k+1)}\), gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą - prosto sprawdzić, że taka trójka spełnia warunki zadania (chociaż najprawdopodobniej to nie jedyne trójki spełniające warunki zadania, ale nie trzeba nam szukać innych, bo już mamy informację, że jest ich nieskończenie wiele).
\(\displaystyle{ a(b+c)+bc=104 \iff a=\frac{104-bc}{b+c}}\)
Przyjmijmy \(\displaystyle{ c=-b+1}\), wówczas:
\(\displaystyle{ a=\frac{104-bc}{b+c}=104-b(-b+1)=104+b(b-1)=b^2-b+104}\)
Ponieważ liczb całkowitych b jest nieskończenie wiele, zatem jest także nieskończenie wiele trójek liczb całkowitych \(\displaystyle{ (a,b,c)}\) spełniających powyższą równość, a mianowicie:
\(\displaystyle{ (a,b,c)=(k^2-k+104,k,-k+1)}\), gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą - prosto sprawdzić, że taka trójka spełnia warunki zadania (chociaż najprawdopodobniej to nie jedyne trójki spełniające warunki zadania, ale nie trzeba nam szukać innych, bo już mamy informację, że jest ich nieskończenie wiele).