Liczby pierwsze

[szymek12]

Dane są liczby pierwsze \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\). Liczba \(\displaystyle{ p}\) dzieli liczbę \(\displaystyle{ q ^{3}-1}\), zaś liczba \(\displaystyle{ q}\) dzieli liczbę \(\displaystyle{ p-1}\). Dowieść, że \(\displaystyle{ p=q ^{2}+q+1}\)

[limes123]

\(\displaystyle{ p|q^3-1=(q-1)(q^2+q+1)\rightarrow p|q^2+q+1}\) (*) poniewaz q|p-1 => \(\displaystyle{ q^2+q+1=kp\iff q^2+q=(k-1)p+(p-1)\rightarrow q|k-1}\) i niech k>1 (o). Wtedy \(\displaystyle{ q^2+q=(k-1)p+(p-1)\geq qp+q>q^2+q}\) - sprzeczność czyli k=1 co dowodzi slusznosci tezy.

[szymek12]

Można trochę jaśniej?