Proszę o pomoc w nastepujacym zadaniu...
Udowodnij, ze jesli n jest liczba naturalna podzielna przez 3, lecz nie jest liczba podzielna przez 6, to liczba n^2 + 7 jesli liczbą podzielną przez 8.
Podzielność przez 8 - dowód
-
Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2353
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
Podzielność przez 8 - dowód
Widzimy, że każda liczba naturalna podzielna przez 3,a nie podzielna przez 6, jest postaci 6m-3. Możesz to wywnioskować, pisząc sobie kolejne liczby p. przez 3 a nie p. przez 6, tj. 3, 9, 15, 21 itd. i znaleźć regułę:)
Tak więc, szukana przez znasz liczba przybiera postać \(\displaystyle{ n^2+7=(6n-3)^2 +7=36n^2-36n+9+7=36n(n-1)+16}\) . Oczywiście 16 dzieli się przez 8:), zauważ więc, że liczba 36n(n-1) jest podzielna przez 4 i mamy tutaj dwie kolejne liczby naturalne (n-1) oraz n, czyli wśród tych liczb jedna będzie parzysta, czyli podzielna przez 2, a iloczyn 36n(n-1) będzie przez to podzielny przez 8 cnw.
Tak więc, szukana przez znasz liczba przybiera postać \(\displaystyle{ n^2+7=(6n-3)^2 +7=36n^2-36n+9+7=36n(n-1)+16}\) . Oczywiście 16 dzieli się przez 8:), zauważ więc, że liczba 36n(n-1) jest podzielna przez 4 i mamy tutaj dwie kolejne liczby naturalne (n-1) oraz n, czyli wśród tych liczb jedna będzie parzysta, czyli podzielna przez 2, a iloczyn 36n(n-1) będzie przez to podzielny przez 8 cnw.