Wykaż, że

[szymek12]

Wykazać, że istnieje nieskończenie wiele trójek kolejnych liczb naturalnych parzystych, których suma jest kwadratem liczby naturalnej.

[MagdaW]

\(\displaystyle{ 2n-1+2n+1+2n+3=x ^{2}\Rightarrow 6n+3=x ^{2}}\)
Zauważ, że spełnia je każda liczba n postaci \(\displaystyle{ n=6a ^{2}+6a+1}\), a takich liczb jest nieskończenie wiele.
Dowód:
\(\displaystyle{ 6(6a ^{2}+6a+1)+3=36a ^{2}+36a+9=(6a+3) ^{2} x=6a+3}\)


c.b.d.o.

[kuch2r]

\(\displaystyle{ 2n-1+2n+1+2n+3=x ^{2}\Rightarrow 6n+3=x ^{2}}\)
Zauważ, że spełnia je każda liczba n postaci \(\displaystyle{ n=6a ^{2}+6a+1}\), a takich liczb jest nieskończenie wiele.
Dowód:
\(\displaystyle{ 6(6a ^{2}+6a+1)+3=36a ^{2}+36a+9=(6a+3) ^{2} x=6a+3}\)


c.b.d.o.

to ma zachodzic dla liczb naturalnych parzystych...

[MagdaW]

Dla parzystych:
\(\displaystyle{ 2n-2+2n+2n+2=6n=x ^{2}}\)
Wystarczy wziąć liczbę n postaci:\(\displaystyle{ n=6 {a ^{2} }}\)Takich liczb także jest nieskończenie wiele.
\(\displaystyle{ 36 a^{2}=x ^{2}}\)Dalej już prosto.

c.b.d.o.