Przestawienie cyfry jedności - III OMG

[patry93]

Witam.

Dana jest liczba ośmiocyfrowa a. Liczba ośmiocyfrowa b powstaje z liczby
a poprzez przestawienie cyfry jedności liczby a na początek. Wykaz, ze jeśli
liczba a jest podzielna przez 101, to liczba b jest także podzielna przez 101.

Więc liczbę a można przedstawić tak:
\(\displaystyle{ a = 10000000c + 1000000d + 100000e + 10000f + 1000g + 100h + 10k + m}\)
b tak:
\(\displaystyle{ b = 10000000m + 1000000c + 100000d + 10000e + 1000f + 100g + 10h + k}\)

101 to liczba pierwsza, więc a jest jakąś wielokrotnością 101
\(\displaystyle{ a = 101x}\)

Dalej nie wiem co robić...

Z góry dziękuję za odpowiedzi.

[frej]

Oznaczmy jak u Ciebie.
Niech \(\displaystyle{ x=1000000c + 100000d + 10000e + 1000f + 100g + 10h + k}\)

Jest więc:
\(\displaystyle{ a=10x+m}\)
\(\displaystyle{ b=10^7m+x}\)
Jeśli \(\displaystyle{ a=10x+m \equiv 0 (mod 101) m \equiv -10x (mod 101)}\)
\(\displaystyle{ b=10^7m+x \equiv 10^7 (-10x)+x \equiv -x(10^8-1) \equiv 0 (mod 101)}\), bo
\(\displaystyle{ 10^2 \equiv -1 (mod 101)}\)
\(\displaystyle{ 10^8=(10^2)^4 \equiv (-1)^4 \equiv 1 (mod 101)}\)

[mol_ksiazkowy]

A ja bym troszke inaczej zapisał \(\displaystyle{ b=c_0*10^7 +\frac{a-c_0}{10}}\) gdize \(\displaystyle{ c_0}\) to ostatnia cyfra liczby a. A wiec \(\displaystyle{ 10b=(10^8 -1)c_0 +a}\) , Prawa strona dzieli sie przez l. pierwsza p=101, A wiec leawa tez, tj b tez.

[patry93]

frej - nie bardzo rozumiem :/
Dlaczego moje \(\displaystyle{ a}\) mnożysz przez 10 i dodajesz jeszcze \(\displaystyle{ m}\) i powstaje z tego nowe \(\displaystyle{ a}\)?
No i znowu kongruencje... jak widać bez tego się nie ruszy, a ja nic z tego nie rozumiem :/
mol_ksiazkowy - to już wogóle totalny hardkor
Gdybyś mógł napisać co to jest np. \(\displaystyle{ \frac{a- c_{0}}{10}}\)
Nie dla mnie takie zadania widocznie...

[frej]

\(\displaystyle{ a=10x+m=10(1000000c + 100000d + 10000e + 1000f + 100g + 10h + k)+m=
10000000c + 1000000d + 100000e + 10000f + 1000g + 100h + 10k + m}\)
nieprawdaż?
Wszystkie oznaczenia poza \(\displaystyle{ x}\) są twoje.

Kongruencje nie są trudne, a bardzo przydatne. Warto się ich nauczyć

[mol_ksiazkowy]

eh tam hardcor

Gdybyś mógł napisać co to jest np. \(\displaystyle{ \frac{a- c_{0}}{10}}\)

\(\displaystyle{ \frac{a- c_{0}}{10}}\) jest to liczba y jaka powstanie z a po obcieciu ostatniej cyfry warto zobaczyc na przykladzie np \(\displaystyle{ a=1724}\), tj \(\displaystyle{ y=172}\) i ...
"czworka idze na poczatek":
\(\displaystyle{ 4172= 4000 +172 = 4*10^3 +172}\)