Liczby pierwsze - II OMG

[patry93]

Witam

Wyznacz wszystkie trójki liczb pierwszych p, q, r spełniające układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} q = p^{2} + 6 \\ r = q^{2} + 6 \end{cases}}\)

Hm... więc jedyne co wiem to to, że kwadrat liczby pierwszej jest nieparzysty, więc q i r też musi być nieparzyste.
Lecz co dalej - niewiem :/

Z góry dziękuje za odpowiedzi.

[Pablo09]

Za bardzo nad tym nie myślełem ale to będzie pewnie tak : jeśli a nie dzieli się przez 5 to
\(\displaystyle{ a^2\equiv 1, -1 (mod 5)}\) . Jeżeli w tym zadaniu\(\displaystyle{ p^2\equiv -1}\) to \(\displaystyle{ 5|q}\) -> q=5 ale to niemozliwe,
Jeśli dalej \(\displaystyle{ p^2\equiv 1 (mod 5)}\) to \(\displaystyle{ q\equiv 2 (mod5)}\) i \(\displaystyle{ r=q^2+6\equiv 4+6\equiv 0 (mod5)}\) -> r=5 , sprzeczność .
a więc musi być \(\displaystyle{ p^2 \equiv 0 (mod 5)}\) - > p=5 - > q=31 , -> r=967 ,

Układ równań spełnia jedna para liczb : \(\displaystyle{ (p,q,r)=(5,31,967 )}\)

[patry93]

:O
Oh My God :O
Ja tutaj ani jednej linijki nie rozumiem... o_O
Nie da się tego bez kongruencji? :/

[alchemik]

Oczywiście Pablo ma rację zbadaj resztę z dzielenia przez 5, możesz tak jak Pablo09 napisał a możesz posprawdzać jedności tych liczb, wyjdzie ci że jedna z nich musi się dzielić przez 5.

załóżmy że p jest różna niż 5 i sama zauwazyłaś że jest nieparzysta, czyli musi mieć cyfrę jedności 1 3 7 lub 9.
Jeżeli ma 1 to q ma 7 r 5 -podzielne przez 5 itd. wychodzi że p musi być podzielne przez 5.

[Pablo09]

ok translate :
jeżeli a nie dzieli się przez 5, to jej kwadrat daje reszty 1 albo 4 przy dzieleniu przez 5. Tak że przypuśćmy , że w naszym zadaniu liczba \(\displaystyle{ p^2}\) daje reszte 4. 6 daje reszte 1 , czyli suma tych liczb dzieli się przez (5|4+1) 5 .
czyli to opada, teraz weźmy że \(\displaystyle{ p^2}\) daje reszte 1 w dzieleniu przez 5 . Czyli wtedy \(\displaystyle{ q=p^2+6}\) daje reszte 1+6=7=5+2 , reszte 2. tj. jak q daje reszte 2 w dzieleniu rpzez 5 to jej kwadrat daje reszte \(\displaystyle{ 2^2=4}\)
a zatem r daje reszte 4+6=10=5+5 , czyli tez dzieli się rpzez 5 .
na koniec sprawdasz co sie dzieje jak 5|q -> q=5
nie musisz znac tych kongrencji ale to skraca zapis , ktory staje sie bardziejh czytelny, pozdro

[patry93]

Dziękuję za poświęcony czas.
Kilka dni/tygodni minie zanim to zrozumiem, ale narazie mnie zastanawia jedno - co oznacza symbol "|"?
Tak jak Pablo09 napisał - " 5|q -> q=5 " ?

[Pablo09]

to znaczy '5 dzieli q'

spoko spoko, ja to jak miałem tyle lat co Ty to o omg czy innych tego typu pierdułkach nie słyszałem ; ale na początek taki zupełny początek to sobie możesz porobić are zadan z ligi zadaniowej , nei zaszkodzi

[ Dodano: 12 Sierpnia 2008, 13:58 ]
tzn. nie wiem ile juz umiesz , ale jak moge co poradzic to kiedys jeszcze Pawłowski z krową , no i dobrze ze robisz te zadanka z zeszlych lat