Aha. Więc co do drugiego to już jest oczywiste, że spośród \(\displaystyle{ (n-1)n(n+1)}\) przynajmniej jedna jest podzielna przez 2 i przynajmniej jedna przez 3. Teraz jeśli się nie mylę to trzeba jakoś pokazać, że \(\displaystyle{ (n^2+1)}\) jest podzielne przez 5? Czy może trzeba od początku kombinować z \(\displaystyle{ n^{5}-n}\)? Jeśli by się to udało wykazać to 30 = 2*3*5 więc by było udowodnione
Edit:
Aha. Nie zauważyłem podpowiedzi, że podzielność przez 5 z MTF można udowodnić. Więc pokombinuję coś w tym kierunku.
Edit2:
Hej! Ale z MTF to przecież też jest oczywiste, że \(\displaystyle{ 5|n^{5}-n}\). Tylko czy to wystarczy na dowód? Podzielność przez 2 i 3 jest wykazana, a jeśli dodać do tego podzielność przez 5 z MTF to można to wtedy wymnożyć 2*3*5?
Oczywiście, że możesz korzystać z MTF i tak jest najprościej bo to wprost z niego wynika:p masz wykazaną podzielność przez 2 3 5 a poniewaz sa wzglednie pierwsze to wykazales rowniez podzielnosc przez ich iloczyn czyli 30 ckd
A więc dziękuję za pomoc przy drugim zadaniu
Co do pierwszego to nie rozumiem jak mam to połączyć w pary. Powinny się składniki jakoś zredukować? Ale do tego chyba potrzebne by było odejmowanie?
Zauważ, że z niepardzystości tych liczb wynika, że \(\displaystyle{ (m-1)^n\equiv -1^n=-1(modm)}\), czyli \(\displaystyle{ (m-1)^n+1^n\equiv 0(modm)}\), czyli ta para jest podzielny i dalej łączysz w takie pary \(\displaystyle{ (m-k)^n+k^n}\) otrzymując sumy podzielne przez m.
