pole prostokata

[szymek12]

Prostokąt, którego długości boków są liczbami naturalnymi, podzielono na kwadraty o boku długości 1. W każdy z kwadratów wpisano pewną liczbę całkowitą tak, że suma liczb w każdym wierszu jest równa 1, a suma liczb w każdej kolumnie jest równa 3. Rozstrzygnąć, czy pole tego prostokąta może byc równe 1992.

[Brzytwa]

Niech \(\displaystyle{ k}\) oznacza liczbę wierszy, a \(\displaystyle{ l}\) liczbę kolumn. Obliczmy sumę wszystkich wypisanych liczb. Sumując wszystkie wiersze otrzymujemy \(\displaystyle{ k}\), natomiast sumując wszystkie kolumny dostajemy \(\displaystyle{ 3l}\). Zatem \(\displaystyle{ k=3l}\). Z drugiej strony \(\displaystyle{ k l =1992}\). Łatwo sprawdzić, że wówczas liczby \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\) nie są całkowite.

[szymek12]

DLACZEGO k=3l? Przecież nie musi to być kwadrat. Poza tym w odpowiedziach mam, że taki prostokat istnieje.

[Brzytwa]

DLACZEGO k=3l?

Bo suma wszystkich liczb jest zawsze taka sama, obojętnie jakim sposobem ją liczymy.

Poza tym w odpowiedziach mam, że taki prostokat istnieje.

To wcale nie oznacza, że powyższe rozwiązanie jest błędne. Przecież w podręczniku też może być błąd.