Kongruencja - skąd takie wyniki?

[Grief]

Aby rozwiązać kongruencję:
\(\displaystyle{ x^{3} - 7x^{2} + 4 \equiv 0 \ (mod \ 88)}\)
rozbijamy moduł \(\displaystyle{ 88 = 11 8}\) i rozwiązujemy
\(\displaystyle{ x^{3} - 7x^{2} + 4 \equiv 0 \ (mod \ 8) \ \ x \equiv 2, 3, 6 \ (mod \ 8)}\)
oraz \(\displaystyle{ x^{3} - 7x^{2} + 4 \equiv 0 \ (mod \ 11) \ \ x \equiv 4 \ (mod \ 11)}\)
Złożenie tych rozwiązań daje trzy rozwiązania kongruencji
\(\displaystyle{ x \equiv 26, 59, 70 \ (mod \ 88)}\)

Mam taki oto przykład, a pytanie brzmi skąd wzięły się liczby 26, 59 i 70? Kombinuję z tym 2, 3, 6 i 4 ale nie mogę dojść do żadnego z tych 3 wyników. Również nie wiem dlaczego 88 rozbija się na 11*8? Czy jest jakaś zasada? Tak podejrzewam czy czasem nie rozbija się tego tak w miarę po środku, żeby te dwa czynniki były jak najbliższe siebie.

Edit:
Pomyłka. Druga liczba jest 59, a nie 50. Już poprawiłem.
Tak kombinuję dalej i doszedłem, że 2 * 11 +4 oraz 6 * 11 + 4 dają pierwszy i ostatni wynik ale na środkowy to już nie działa

[frej]

\(\displaystyle{ a \equiv b (mod m) d|m a \equiv b (mod d)}\) , więc można dowolnie rozbijać na przystawanie modulo dzielnik.

Rozważ trzy przypadki:
a) \(\displaystyle{ x \equiv 2 (mod 8)}\)
\(\displaystyle{ 11x \equiv 22 (mod 88)}\)
\(\displaystyle{ 8x \equiv 32 (mod 88)}\)
\(\displaystyle{ 56x-55x \equiv 7\cdot 32 - 5\cdot 22 \equiv 114 \equiv 26(mod 88)}\)
b) \(\displaystyle{ x \equiv 3 (mod 8)}\)
\(\displaystyle{ 11x \equiv 33 (mod 88)}\)
\(\displaystyle{ 8x \equiv 32 (mod 88)}\)
\(\displaystyle{ 56x-55x \equiv 7\cdot 32 - 5\cdot 33 \equiv 59(mod 88)}\) tutaj masz błąd
c) \(\displaystyle{ x \equiv 6 (mod 8)}\)
\(\displaystyle{ 11x \equiv 66 (mod 88)}\)
\(\displaystyle{ 8x \equiv 32 (mod 88)}\)
\(\displaystyle{ 56x-55x \equiv 7\cdot 32 - 5\cdot 66 \equiv 70(mod 88)}\)

[Grief]

Dlaczego jest \(\displaystyle{ 56x - 55x}\)? Wiem, że to jest 7*8x i 5*11x ale dlaczego jest pomnożone przez 7 i 5? Tak myślę, czy to nie dlatego, żeby nie uzyskać liczb ujemnych bo np. \(\displaystyle{ 11x - 8x \equiv 22 - 32}\)więc po prawej będzie poniżej zera ale w sumie gdyby tak było to mogłoby też być \(\displaystyle{ 2 8x - 11x = 16x - 11x \equiv 2 32 - 22 \equiv 42 \ (mod \ 88)}\), a to już jest coś innego.

[frej]

Grief, chodzi o to, że \(\displaystyle{ x=56x-55x}\)
a skoro \(\displaystyle{ 56x-55x \equiv 26 (mod 88)}\) to \(\displaystyle{ x \equiv 26 (mod 88)}\)

[ Dodano: 21 Lipca 2008, 11:20 ]
Sorry za wczorajszy błąd Poprawiłem pierwsze zdanie w poprzednim poście.

[Grief]

Aha. Takie buty Dzięki za pomoc!

Edit:
No właśnie tak myślałem, że to raczej o dzielnik chodzi bo 8 nie jest względnie pierwsze. Jak na razie to cienko i tak mi z tymi zadaniami idzie (zwłaszcza dowody) ale myślę, że im więcej się tego przerobi tym będzie lepiej. Jak się nie ma do czegoś talentu to trzeba się go wyuczyć