Rozwiązanie kongruencji równoczesnych

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Awatar użytkownika
Grief
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 24
Rejestracja: 3 lis 2006, o 22:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Trzebinia
Podziękował: 5 razy

Rozwiązanie kongruencji równoczesnych

Post autor: Grief »

Czy kongruencje równoczesne
\(\displaystyle{ x \equiv 3 \ (mod \ 14), \ x \equiv 7 \ (mod \ 16)}\)
mają rozwiązanie?


Rozwiązałem to w ten sposób:

\(\displaystyle{ x \equiv 3 \ (mod \ 14), \ x \equiv 7 \ (mod \ 16)\\
x = 3 + 14t\\
3 + 14t \equiv 7 \ (mod \ 16)\\
14t \equiv 4 \ (mod \ 16)\\
-2t = 4 + 16u\\
t = -2 - 8u\\
x = 3 + 14(-2 - 8u) = 3 - 28 - 14\cdot8\cdot u = -25 - 14\cdot8\cdot u\\
\underline{\underline{x \equiv -25 \ (mod \ -14\cdot8)}}}\)


Czy jest to rozwiązane poprawnie?
frej

Rozwiązanie kongruencji równoczesnych

Post autor: frej »

tak, możesz też zrobić to tak:
\(\displaystyle{ 8x \equiv 24 (mod 112)}\)
\(\displaystyle{ 7x \equiv 49 (mod 112)}\)
\(\displaystyle{ 8x-7x \equiv 24-49 \equiv -25 (mod 112)}\)
trochę krócej

Tak nawiasem mówiąc, to ładniej wygląda \(\displaystyle{ (mod 14\cdot 8)}\) niż \(\displaystyle{ (mod -14\cdot 8)}\), ale to tylko moje zdanie
Ostatnio zmieniony 20 lip 2008, o 21:42 przez frej, łącznie zmieniany 1 raz.
Wasilewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3921
Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1194 razy

Rozwiązanie kongruencji równoczesnych

Post autor: Wasilewski »

Tak, ale ten minus to możesz spokojnie skasować. A rozwiązać można również inaczej. Pomnóżmy pierwszą kongruencję przez 8, a drugą przez 7:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 8x \equiv 24 (mod \ 112)\\ 7x \equiv 49 (mod \ 112) \end{cases}}\)
Po odjęciu stronami:
\(\displaystyle{ x \equiv - 25 (mod \ 112)}\)
Awatar użytkownika
Grief
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 24
Rejestracja: 3 lis 2006, o 22:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Trzebinia
Podziękował: 5 razy

Rozwiązanie kongruencji równoczesnych

Post autor: Grief »

Dzięki Wam! No rzeczywiście z tym minusem.
ODPOWIEDZ