Cyfry sąsiadujące z przecinkiem

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
jezyki8
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 37
Rejestracja: 4 lip 2008, o 22:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: z Helu
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 3 razy

Cyfry sąsiadujące z przecinkiem

Post autor: jezyki8 »

Ciekawe zadanie:

Wyznaczyć dwie cyfry sąsiadujące z przecinkiem w rozwinięciu dziesiętnym liczby

\(\displaystyle{ (\sqrt{2}+\sqrt{3})^{1980}}\)
Awatar użytkownika
Sylwek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2716
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 160 razy
Pomógł: 657 razy

Cyfry sąsiadujące z przecinkiem

Post autor: Sylwek »

\(\displaystyle{ (\sqrt{3}+\sqrt{2})^n+(\sqrt{3}-\sqrt{2})^n \mathbb{Z} \\ (\sqrt{3}-\sqrt{2})^{1980} (\sqrt{3}+\sqrt{2})^{1980}=.....,99....}\)
jezyki8
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 37
Rejestracja: 4 lip 2008, o 22:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: z Helu
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 3 razy

Cyfry sąsiadujące z przecinkiem

Post autor: jezyki8 »

NO nie jest to prawda dla każdego n, choćby dla n = 1, No ale trop jest właściwie dobry tylko należy to rozwinąć, poza tym druga dziewiątka nie sąsiaduje z przecinkiem sąsiaduje z przecinkiem liczba przed przecinkiem, której nie podałeś
Awatar użytkownika
Sylwek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2716
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 160 razy
Pomógł: 657 razy

Cyfry sąsiadujące z przecinkiem

Post autor: Sylwek »

Nie dodałem, że chodzi o n parzyste, no i nie zrozumiałem polecenia :P . No to:
\(\displaystyle{ (5+2\sqrt{6})^{990}+(5-2\sqrt{6})^{990}=k \in \mathbb{Z}}\) (prosto to dowieść, potęgowane liczby (niech: odpowiednio u,v) są pierwiastkami równania \(\displaystyle{ x^2-10x+1}\), zatem: \(\displaystyle{ u^2=10u-1 \ i \ v^2=10v-1}\), układamy rekurencję: \(\displaystyle{ u^{k+2}+v^{k+2}=(u^{k+1}+v^{k+1})(u+v)-(u^k+v^k)uv}\), proste kombinowanie z indukcją i wzorami Viete'a, zostawiam dociekliwym...).

No to rozpatrzmy wyrażenie \(\displaystyle{ x=u^k+v^k \ (mod 10)}\), ponieważ dla \(\displaystyle{ k=990}\) jest \(\displaystyle{ v}\), to szukaną cyfrą przed przecinkiem będzie x-1 (bądź dla x=0 wynikiem będzie 9). Z Viete'a: \(\displaystyle{ uv=1, \ u+v=10}\), z rekurencji: \(\displaystyle{ u^{k+2}+v^{k+2}=10(u^{k+1}+v^{k+1})-(u^k+v^k)}\) (już uwzględniłem wzory Viete'a), toteż indukcyjnie:
\(\displaystyle{ k \equiv 1 \vee k \equiv 3 \ (mod 4) \Rightarrow x\equiv 0 (mod 10) \\ k \equiv 0 \ (mod 4) \Rightarrow x\equiv 2 (mod 10) \\ k \equiv 2 \ (mod 4) \Rightarrow x\equiv 8 (mod 10)}\)

\(\displaystyle{ 990 \equiv 2 \ (mod 4) \Rightarrow x-1=7}\)

Cyfra przed przecinkiem to 7, a po przecinku to 9 ;) .
Awatar użytkownika
limes123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 666
Rejestracja: 21 sty 2008, o 22:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ustroń
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 93 razy

Cyfry sąsiadujące z przecinkiem

Post autor: limes123 »

Sylwek pisze:Nie dodałem, że chodzi o n parzyste, no i nie zrozumiałem polecenia :P . No to:
\(\displaystyle{ (5+2\sqrt{6})^{990}+(5-2\sqrt{6})^{990}=k \in \mathbb{Z}}\) (prosto to dowieść, potęgowane liczby (niech: odpowiednio u,v) są pierwiastkami równania \(\displaystyle{ x^2-10x+1}\), zatem: \(\displaystyle{ u^2=10u-1 \ i \ v^2=10v-1}\), układamy rekurencję: \(\displaystyle{ u^{k+2}+v^{k+2}=(u^{k+1}+v^{k+1})(u+v)-(u^k+v^k)uv}\), proste kombinowanie z indukcją i wzorami Viete'a, zostawiam dociekliwym...)
Można też ze wzoru Newtona, albo intuicyjnie - skoro niewymierne składniki będą z potęgami nieparzystymi, to w pierwszym iloczynie będą z + a w deugim z - czyli sie zniosą i zostaną same całkowite.
jezyki8
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 37
Rejestracja: 4 lip 2008, o 22:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: z Helu
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 3 razy

Cyfry sąsiadujące z przecinkiem

Post autor: jezyki8 »

No własnie limies123, moje rozwiązanie jest ze wzorem Newtona, może to bardziej intuicyjne.
Awatar użytkownika
Sylwek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2716
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 160 razy
Pomógł: 657 razy

Cyfry sąsiadujące z przecinkiem

Post autor: Sylwek »

Mimo wszystko tą rekurencję warto sobie zapamiętać.
ODPOWIEDZ